Výrobná súprava a jej funkcie. Správanie producenta

Opis technologického súboru jednoproduktového prvku uvedený v predchádzajúcom odseku je najjednoduchší. Zohľadnenie dodatočných vlastností technológie prvkov vedie k potrebe doplniť ju o množstvo funkcií. Niektoré z nich zvážime v tomto odseku. Samozrejme, vyššie uvedené úvahy nevyčerpávajú všetky možnosti, ktoré sa v tomto smere ponúkajú.

Poďme si popísať vlastnosti technologické súpravy, v zmysle ktorých sa zvyčajne popisujú konkrétne triedy technológií.

Stanovme si teraz niekoľko vzťahov medzi vlastnosťami technologického súboru a výrobnou funkciou, ktorá ho predstavuje.

Odpoveď na otázku závisí od vlastností technologickej množiny Y a množiny cien P, pri ktorej sa dodržiava ponuka.

Uvažujme špeciálny prípad, keď P = M++. V tomto prípade sa Y a Y nemusia zhodovať, pretože naša metóda konštrukcie Y generuje množinu, ktorá spĺňa vlastnosť voľného útraty, a technologická množina Y nemusí spĺňať vlastnosť voľného útraty (ako na obrázkoch 24.1 a 24.2).

Skontrolujte, či táto funkcia spĺňa vlastnosti ziskovej funkcie. Obnovte technologický súbor zodpovedajúci funkcii zisku.

Nominálne hodnoty týchto vlastností sú zakomponované do konštrukcie výrobku a technológie jeho výroby. Ich dodržiavanie vo výrobnom procese komplikuje mnoho faktorov, ktoré je potrebné identifikovať a pokiaľ možno neutralizovať. Na tento účel skupina pre riadenie procesov vykoná špeciálnu štúdiu, aby vytvorila zoznam faktorov, význam každého z nich, vzťah medzi nimi, povahu prejavu (náhodné alebo špecifické), čas a miesto pôsobenia. V priebehu takejto štúdie sa v prvej fáze skúma stav problému na základe nahromadených výrobných skúseností, analýzy technickej dokumentácie, vedeckých prác a experimenty. V druhej fáze sú formulované opatrenia (metódy ovplyvňovania identifikovaných faktorov). Pri vykonávaní činností sledujú výsledky a prispôsobujú kontrolné akcie na faktory.

Zaznamenávame prvú dôležitú vlastnosť súboru 7/ - jeho úplnosť. Táto vlastnosť spočíva v tom, že Ti obsahuje technologické operácie dostatočné na skonštruovanie akéhokoľvek TSP pre určitú triedu objektov.

Technológia používaná v tomto odvetví mení počiatočné zloženie a štruktúru surovín a materiálov, v dôsledku čoho vznikajú nové chemické zlúčeniny, ktoré sa od nich líšia fyzikálno-chemickými a spotrebiteľskými vlastnosťami. Technologické postupy jednotlivých odvetví sú veľmi rôznorodé. To je určené tým, že chemické metódy vám umožní získať veľa produktov z jedného zdrojový materiál a tiež použiť odlišné typy a zdrojov surovín na výrobu toho istého produktu.

Ako je známe, syntetické polymérne zlúčeniny možno rozdeliť do mnohých tried a skupín v závislosti od ich pôvodu, podmienok syntézy a fyzikálno-chemických vlastností. Pre syntetické živice používané ako spojivá vo vystužených materiáloch však bude najdôležitejšia klasifikácia podľa ich technologických a technických vlastností (tabuľka 13).

Úhrn, poradie a charakteristika technologických operácií tvoria technologický proces zameraný na kvalitatívnu zmenu spracovávaného prostredia, jeho tvaru, štruktúry a spotrebiteľských vlastností. Toto je najvšeobecnejší obsah pojmu „technológia“ a budeme ho mať na mysli pri ďalšom uvažovaní o funkciách riadenia inovácií. Okrem toho, každá z mnohých technológií môže byť považovaná za priemyselnú, pretože každá z nich je navrhnutá tak, aby produkovala novú kvalitu pôvodného média alebo materiálu.

Teória aktívnych systémov (TAS) je sekcia teórie riadenia sociálno-ekonomických systémov (vznikla medzi múrmi Ústavu automatizácie a telemechaniky a do značnej miery rozvíjaná jeho pracovníkmi), ktorá študuje vlastnosti mechanizmov ich fungovania, vzhľadom na prejavy aktivity účastníkov systému. Hlavnou výskumnou metódou je matematické (hero-teoretické) a simulačné modelovanie. Za tridsať rokov svojho vývoja TAS vyvinula, preskúmala a zaviedla mnoho efektívnych riadiacich mechanizmov. Vhodné modely a metódy sa využívajú pri riešení širokého spektra problémov riadenia v ekonomike a spoločnosti – od riadenia technologických procesov až po rozhodovanie na úrovni regiónov a krajín.

Spôsoby znázornenia technologických súborov výrobných prvkov uvažované v predchádzajúcom odseku charakterizujú ich vlastnosti, ale nešpecifikujú popis v explicitnej forme. Pre jednoproduktové výrobné prvky možno uviesť výslovný popis technologického súboru pomocou konceptu výrobnej funkcie. V 1.2 sme sa už dotkli tohto konceptu a jeho použitia, v tejto časti bude zvažovanie týchto otázok pokračovať.

2. Výrobné súbory a produkčné funkcie

2.1. Výrobné súpravy a ich vlastnosti

Zvážte najdôležitejšieho účastníka ekonomických procesov - jednotlivého výrobcu. Výrobca realizuje svoje ciele iba prostredníctvom spotrebiteľa, a preto musí uhádnuť, pochopiť, čo chce, a uspokojiť jeho potreby. Budeme predpokladať, že existuje n rôznych tovarov, množstvo n-tého tovaru označíme x n, potom určitú množinu tovarov označíme X = (x 1 , ..., x n). Budeme uvažovať len nezáporné množstvá tovarov, teda x i  0 pre ľubovoľné i = 1, ..., n alebo X > 0. Množinu všetkých množín tovarov nazývame priestor tovarov C. Množina tovarov možno považovať za košík, v ktorom tento tovar leží v príslušnom množstve.

Nechajte ekonomiku pracovať v priestore statkov С = (X = (x 1 , x 2 , …, x n): x 1 , …, x n  0). Priestor produktu pozostáva z nezáporných n-rozmerných vektorov. Uvažujme teraz vektor T dimenzie n, ktorého prvých m zložiek je kladných: x 1 , …, x m  0 a posledné (n-m) zložky sú záporné: x m +1 , …, x n  0 Voláme vektor X = (x 1 ,…, x m ). nákladový vektor a vektor Y = (x m+1 , …, x n) – vektor uvoľnenia. Samotný vektor T = (X,Y) sa nazýva vstupno-výstupný vektor alebo technológia.

Technológia (X,Y) je vo svojom význame spôsob spracovania zdrojov hotové výrobky: „zmiešaním“ zdrojov v množstve X dostaneme produkty v množstve Y. Každý konkrétny výrobca sa vyznačuje určitým súborom τ technológií, ktoré sa tzv. výrobná súprava. Typický tieňovaný súbor je znázornený na obr. 2.1. Daný výrobca minie jeden tovar na výrobu druhého.

Ryža. 2.1. Výrobná súprava

Výrobná súprava odráža šírku možností výrobcu: čím je väčšia, tým má širšie možnosti. Výrobná súprava musí spĺňať tieto podmienky:

je uzavretý - to znamená, že ak je vstupno-výstupný vektor T ľubovoľne presne aproximovaný vektormi z τ, tak T patrí τ (ak všetky body vektora T ležia v τ, tak Tτ viď obr. 2.1 body C a B);

v τ(-τ) = (0), t.j. ak Tτ, T ≠ 0, potom -Тτ – náklady a výkon nemožno zamieňať, t.j. výroba je nevratný proces (množina – τ je vo štvrtom kvadrante kde y je 0);

množina je konvexná, tento predpoklad vedie k zníženiu návratnosti spracovaných zdrojov pri náraste objemov výroby (k zvýšeniu miery spotreby nákladov na hotové výrobky). Takže z obr. 2.1 je zrejmé, že y/x  klesá ako x  -. Predovšetkým predpoklad konvexnosti vedie k poklesu produktivity práce s rastom produkcie.

Často konvexnosť jednoducho nestačí a potom je potrebná striktná konvexnosť produkčného súboru (alebo jeho časti).

2.2. Krivka výrobnej možnosti

a alternatívne náklady

Uvažovaný koncept produkčného súboru je odlišný vysoký stupeň abstraktnosť a pre svoju extrémnu všeobecnosť je málo využiteľná ekonomická teória.

Zoberme si napríklad Obr. 2.1. Začnime bodmi B a C. Náklady na tieto technológie sú rovnaké, ale výstup je odlišný. Výrobca, ak nie je zbavený zdravého rozumu, nikdy nezvolí technológiu B, keďže existuje lepšia technológia C. V tomto prípade (pozri obr. 2.1) nájdeme pre každé x  0 najvyšší bod (x, y ) vo výrobnej súprave . Je zrejmé, že za cenu x je technológia (x, y) najlepšia. Žiadna technológia (x, b) c b výrobná funkcia. Presná definícia produkčnej funkcie je:

Y = f(x)(x, y) τ, a ak (x, b)  τ a b  y, potom b = x .

Z obr. 2.1 je zrejmé, že pre ľubovoľné x  0 je taký bod y = f(x) jedinečný, čo v skutočnosti umožňuje hovoriť o produkčnej funkcii. Ale situácia je taká jednoduchá, ak sa vyrába iba jeden produkt. Vo všeobecnom prípade pre nákladový vektor X označíme množinu M x = (Y:(X,Y)τ). Súprava M x - je súbor všetkých možných výstupov v nákladoch X. V tomto súbore zvážte „krivku“ výrobné možnosti K x = (YM x: ak ZM x a Z  Y, potom Z = X), t.j. K x - toto je veľa najlepších vydaní, ktoré sú lepšie ako žiadne. Ak sa vyrábajú dva tovary, ide o krivku, ak sa vyrábajú viac ako dva tovary, ide o povrch, teleso alebo súbor ešte vyšších rozmerov.

Takže pre akýkoľvek nákladový vektor X všetky najlepšie výstupy ležia na krivke produkčných možností (povrchu). Preto musí výrobca z ekonomických dôvodov vyberať technológiu odtiaľ. Pre prípad uvoľnenia dvoch tovarov y 1 , y 2 je obrázok znázornený na obr. 2.2.

Ak pracujeme len s fyzikálnymi ukazovateľmi (tony, metre a pod.), tak pre daný nákladový vektor X stačí zvoliť výstupný vektor Y na krivke produkčných možností, ale stále nie je možné rozhodnúť, ktorý konkrétny výstup zvolíme. vybrať. Ak je samotná produkčná množina τ konvexná, potom M x je tiež konvexná pre ľubovoľný nákladový vektor X. Ďalej budeme potrebovať striktnú konvexnosť množiny M x. V prípade uvoľnenia dvoch tovarov to znamená, že dotyčnica ku krivke výrobných možností K x má s touto krivkou spoločný len jeden bod.

Ryža. 2.2. Krivka výrobnej možnosti

Zvážte teraz otázku tzv alternatívne náklady. Predpokladajme, že výstup je pevný v bode A(y 1 , y 2), pozri obr. 2.2. Teraz bolo potrebné zvýšiť produkciu 2. tovaru o y 2 , samozrejme s použitím predchádzajúceho súboru nákladov. To sa dá urobiť, ako je znázornené na obr. 2.2, presun technológie do bodu B, pri ktorom pri zvýšení výkonu druhého výrobku o r 2 bude potrebné znížiť výkon prvého výrobku o r 1 .

pripísanénákladyprvej položky vo vzťahu k druhej v bode ALE volal
. Ak je krivka produkčných možností daná implicitnou rovnicou F(y 1 ,y 2) = 0, potom δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), kde parciálne deriváty sa berú v bode A. Ak sa pozorne pozriete na uvažovaný obrázok, môžete nájsť zvláštny vzorec: pri pohybe nadol po krivke výrobných možností zľava sa náklady príležitosti znižujú z veľmi veľkých hodnôt na veľmi malé .

2.3. Produkčné funkcie a ich vlastnosti

Produkčná funkcia je analytický pomer, ktorý spája variabilné náklady (faktory, zdroje) s hodnotou výstupu. Historicky jednou z prvých prác o konštrukcii a využití produkčných funkcií bola práca o rozbore poľnohospodárskej výroby v USA. V roku 1909 Mitcherlich navrhol nelineárnu produkčnú funkciu: hnojivo – výnos. Nezávisle od neho Spillman navrhol exponenciálnu výnosovú rovnicu. Na ich základe bolo vybudovaných množstvo ďalších agrotechnických výrobných funkcií.

Výrobné funkcie sú určené na modelovanie výrobného procesu určitej ekonomickej jednotky: jednotlivej firmy, odvetvia alebo celej ekonomiky štátu ako celku. Pomocou produkčných funkcií sa riešia tieto úlohy:

hodnotenie návratnosti zdrojov vo výrobnom procese;

predpovedanie ekonomického rastu;

vývoj možností pre plán rozvoja výroby;

optimalizácia fungovania hospodárskej jednotky podliehajúcej danému kritériu a obmedzeniam zdrojov.

Celkový pohľad na produkčnú funkciu: Y = Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, X n), kde Y je ukazovateľ charakterizujúci výsledky výroby; X- ukazovateľ faktora i-tý výrobný zdroj; n je počet faktorových ukazovateľov.

Produkčné funkcie sú definované dvoma súbormi predpokladov: matematickým a ekonomickým. Matematicky sa predpokladá, že produkčná funkcia je spojitá a dvojito diferencovateľná. Ekonomické predpoklady sú nasledovné: pri absencii aspoň jedného výrobného zdroja je výroba nemožná, t.j. Y(0, X 2 , …, X i , …, X n) =

Y(Xi, 0, …, Xi, …, Xn) = …

Y(X1, X2, …, 0, …, Xn) = …

Y(X1, X2, ..., Xi, ..., 0) = 0.

Jediný výkon Y pre dané náklady X však nie je možné uspokojivo určiť len pomocou prirodzených ukazovateľov: náš výber sa zúžil len na „krivku“ výrobných možností K x . Z týchto dôvodov bola vyvinutá len teória produkčných funkcií výrobcov, ktorých produkciu možno charakterizovať jedinou hodnotou - buď objemom produkcie, ak sa vyrába jeden produkt, alebo celkovou hodnotou celého výstupu.

Nákladový priestor je m-rozmerný. Každý bod v nákladovom priestore X \u003d (x 1, ..., x m) zodpovedá jedinému maximálnemu výkonu (pozri obr. 2.1) vytvorenému pomocou týchto nákladov. Tento vzťah sa nazýva produkčná funkcia. Produkčná funkcia sa však zvyčajne chápe menej reštriktívnym spôsobom a za produkčnú funkciu sa považuje akýkoľvek funkčný vzťah medzi vstupom a výstupom. V nasledujúcom budeme predpokladať, že produkčná funkcia má potrebné derivácie. Predpokladá sa, že produkčná funkcia f(X) spĺňa dve axiómy. Prvý z nich uvádza, že existuje podmnožina nákladového priestoru tzv ekonomickej oblasti E, v ktorom zvýšenie akéhokoľvek typu vstupu nevedie k zníženiu výstupu. Ak sú teda X 1 , X 2 dva body tejto oblasti, potom X 1  X 2 implikuje f(X 1)  f(X 2). V diferenciálnej forme je to vyjadrené tým, že v tejto oblasti sú všetky prvé parciálne derivácie funkcie nezáporné: f/x 1 ≥ 0 (pre akúkoľvek rastúcu funkciu je derivácia väčšia ako nula). Tieto deriváty sú tzv okrajové produkty, a vektor f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vektor okrajových produktov (ukazuje, koľkokrát sa výkon zmení so zmenou nákladov).

Druhá axióma hovorí, že existuje konvexná podmnožina S ekonomickej oblasti, pre ktoré sú podmnožiny (XS:f(X)  a) konvexné pre všetky a  0. V tejto podmnožine S je Hessova matica zložená z druhých derivácií funkcie f(X) záporne definitná, preto ,  2 f/ x 2 i

Zastavme sa pri ekonomický obsah tieto axiómy. Prvá axióma hovorí, že produkčná funkcia nie je nejaká úplne abstraktná funkcia, ktorú vymyslel teoretický matematik. Odráža ekonomicky dôležité, nespochybniteľné a zároveň triviálne tvrdenie, aj keď nie v celej svojej definičnej oblasti, ale len v jej časti: vV rozumnej ekonomike nemôže zvýšenie vstupov viesť k zníženiu produkcie. Z druhej axiómy vysvetlime len ekonomický význam požiadavky, aby derivácia  2 f/x 2 i bola menej ako nula pre každý typ nákladov. Táto vlastnosť sa nazýva v ekonómii zakonom klesajúcich výnosov alebo klesajúcich výnosov: ako sa náklady zvyšujú, počnúc od určitého momentu (pri vstupe do oblasti S!), ohraničný produkt začína klesať. Klasickým príkladom tohto zákona je pridávanie stále väčšej pracovnej sily k produkcii obilia na pevnom pozemku. V nasledujúcom texte sa rozumie, že produkčná funkcia sa uvažuje na doméne S, v ktorej platia obe axiómy.

Výrobnú funkciu daného podniku je možné poskladať bez toho, aby sme o tom niečo vedeli. Je potrebné iba umiestniť počítadlo (osoby alebo niekoho). automatické zariadenie), ktorý určí X - dovezené zdroje a Y - množstvo produktov, ktoré podnik vyrobil. Ak nahromadíte veľa takýchto statických informácií, zohľadnite prácu podniku v rôznych režimoch, potom môžete predpovedať výstup, pričom poznáte iba objem dovezených zdrojov, a to je znalosť produkčnej funkcie.

2.4. Cobb-Douglasova produkčná funkcia

Zvážte jednu z najbežnejších produkčných funkcií – Cobb-Douglasovu funkciu: Y = AK  L  , kde A, ,  > 0 sú konštanty,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Negatíva druhých parciálnych derivátov, t. j. pokles hraničných produktov: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Prejdime k hlavným ekonomickým a matematickým charakteristikám Cobb-Douglasovej produkčnej funkcie. Priemerná produktivita práce definované ako y = Y/L – pomer objemu vyrobeného produktu k množstvu vynaloženej práce; priemerná návratnosť aktív k = Y/K - pomer objemu vyrobeného produktu k hodnote finančných prostriedkov.

Pre Cobb-Douglasovu funkciu je priemerná produktivita práce y = AK  L  a vplyvom podmienky  s rastom nákladov práce priemerná produktivita práce klesá. Tento záver umožňuje prirodzené vysvetlenie – keďže hodnota druhého faktora K zostáva nezmenená, znamená to, že novo priťahuje pracovná sila neboli poskytnuté dodatočné finančné prostriedky výroby, čo vedie k poklesu produktivity práce (platí to aj v najvšeobecnejšom prípade – na úrovni výrobných súborov).

Hraničná produktivita práce Y/L = AβK α L β -1 > 0, z čoho vyplýva, že pre Cobb-Douglasovu funkciu je hraničná produktivita práce úmerná priemernej produktivite a je nižšia ako ona. Podobne sa určuje priemerná a hraničná návratnosť aktív. Pre nich platí aj naznačený pomer – hraničná rentabilita aktív je úmerná priemernej rentabilite aktív a je menšia ako ona.

Dôležitou vlastnosťou je pomer kapitálu a práce f = K/L, zobrazenie množstva finančných prostriedkov pripadajúcich na jedného zamestnanca (na jednotku práce).

Nájdime teraz elasticitu výroby vzhľadom na prácu:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβKαL β-1 L/(AK αL β) = β.

Takže význam je jasný parameter - toto je elasticita (pomer maximálny výkon práce k priemernej produktivite práce) produktov podľa práce. Elasticita produkcie vzhľadom na prácu znamená, že na zvýšenie produkcie o 1% je potrebné zvýšiť objem pracovné zdroje o  %. Má podobný význam parameter – je elasticita výstupu voči fondom.

A ešte jedna hodnota je zaujímavá. Nech  +  = 1. Je ľahké skontrolovať, či Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (nahradením predtým vypočítaných Y/K, Y/L do tento vzorec). Predpokladajme, že spoločnosť pozostáva len z robotníkov a podnikateľov. Potom sa príjem Y rozdelí na dve časti – príjem pracujúcich a príjem podnikateľov. Keďže pri optimálnej veľkosti firmy sa hodnota Y / L - hraničný produkt práce - zhoduje s plat(dá sa to dokázať), potom (Y/L)L je príjem pracovníkov. Podobne hodnota Y/K je hraničná rentabilita aktív, ktorej ekonomický význam je miera návratnosti, preto (Y/K)K predstavuje príjem podnikateľov.

Funkcia Cobb-Douglas je najznámejšou zo všetkých produkčných funkcií. V praxi sa pri jeho konštrukcii niekedy upúšťa od niektorých požiadaviek (napríklad súčet  +  môže byť väčší ako 1 a pod.).

Príklad 1 Nech produkčná funkcia je Cobb-Douglasova funkcia. Na zvýšenie produkcie o a = 3 % je potrebné zvýšiť stály majetok o b = 6 % alebo počet zamestnancov o c = 9 %. V súčasnosti jeden pracovník mesačne vyrába výrobky za M = 10 4 rubľov . , a celkový počet zamestnancov je L = 1000. Dlhodobý majetok sa odhaduje na K = 10 8 rubľov. Nájdite produkčnú funkciu.

Riešenie. Nájdite koeficienty , :  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, teda Y = AK 1/2 L 1/3. Aby sme našli A, dosadíme do tohto vzorca hodnoty K, L, M, pričom máme na pamäti, že Y = ML = 1000 . 10 4 \u003d 10 7 - - 10 7 \u003d A (10 8) 1/2 1000 1/3. Preto A = 100. Produkčná funkcia má teda tvar: Y = 100K 1/2 L 1/3 .

2.5. Teória firmy

V predchádzajúcej časti sme pri analýze a modelovaní správania výrobcu použili len prirodzené ukazovatele a zaobišli sme sa bez cien, ale problém výrobcu, teda indikovať, sa nám nakoniec nepodarilo vyriešiť. jediná cesta konanie za neho za daných okolností. Teraz sa pozrime na ceny. Nech P je cenový vektor. Ak T = (X,Y) je technológia, t. j. vstupno-výstupný vektor, X sú náklady, Y je výstup, potom skalárny súčin PT = PX + PY je zisk z používania technológie T (náklady sú záporné veličiny) . Teraz sformulujeme matematickú formalizáciu axiómy, ktorá popisuje správanie výrobcu.

Výzva výrobcu: Výrobca vyberá technológiu zo svojho výrobného súboru v snahe maximalizovať zisk . Výrobca teda rieši nasledujúci problém: РТ→max, Tτ. Táto axióma drasticky zjednodušuje situáciu výberu. Ak sú teda ceny kladné, čo je prirodzené, potom „výstupná“ zložka riešenia tohto problému bude automaticky ležať na krivke výrobných možností. Vskutku, nech T = (X,Y) je nejaké riešenie problému výrobcu. Potom existuje ZK x , Z  Y, teda P(X, Z)  P(X, Y), takže bod (X, Z) je tiež riešením problému výrobcu.

V prípade dvoch typov výrobkov je možné problém vyriešiť graficky (obr. 2.3). Aby ste to dosiahli, musíte "presunúť" priamku kolmú na vektor P v smere, kde ukazuje; potom posledný bod, keď táto priamka ešte pretína produkčnú množinu, a bude riešením (na obr. 2.3. ide o bod T). Je ľahké vidieť, že striktná konvexnosť požadovanej časti výrobného súboru v druhom kvadrante zaručuje jedinečnosť riešenia. Rovnaká úvaha platí vo všeobecnom prípade pre väčší počet vstupov a výstupov. My však nepôjdeme touto cestou, ale využijeme aparát výrobných funkcií a nazveme výrobcu firmou. Výstup firmy teda možno charakterizovať jednou hodnotou – buď objemom produkcie, ak sa vyrába jeden produkt, alebo celkovými nákladmi na celý výstup. Nákladový priestor je m-rozmerný, nákladový vektor X = (x 1 , …, x m). Náklady jednoznačne určujú výstup Y a týmto vzťahom je produkčná funkcia Y = f(X).

Ryža. 2.3. Riešenie problému výrobcu

V tejto situácii označíme P vektor cien pre vstupné tovary a nech v je jednotková cena vyrobeného tovaru. Preto zisk W, ktorý je v konečnom dôsledku funkciou X (a cien, ktoré sa však považujú za konštantné), je W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Prirovnanie parciálnych derivácií funkcie W na nulu, dostaneme:

v(f/x j) = p j pre j = 1, …, m alebo v(f/X) = P (2.1)

Budeme predpokladať, že všetky náklady sú striktne kladné (nulové náklady možno jednoducho vylúčiť z úvahy). Potom sa bod daný vzťahom (2.1) ukáže ako vnútorný, teda extrémny bod. A keďže sa predpokladá aj negatívna definitívnosť Hesseho matice produkčnej funkcie f (X) (na základe požiadaviek na produkčné funkcie), ide o maximálny bod.

Takže za prirodzených predpokladov o produkčných funkciách (tieto predpoklady platia pre výrobcu so zdravým rozumom a v rozumnej ekonomike) vzťah (2.1) dáva riešenie problému firmy, t.j. určuje objem X * spracovaných zdrojov, čo má za následok výstup Y * = f(X *) Bod X * , alebo (X * ,f(X *)) sa nazýva optimálne rozhodnutie firmy. Zastavme sa pri ekonomickom význame vzťahu (2.1). Ako už bolo spomenuté, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) sa nazýva vektor hraničného produktu alebo vektor hraničného produktu, a f/x i sa nazýva i-tá okrajový produkt, alebo uvoľniť reakciu na zmenu i cena položky. Preto vf/x i dx i je cena i - okrajový produkt dodatočne odvodený od dx i Jednotky i - zdroj. Náklady na jednotky dx i i-tého zdroja sa však rovnajú p i dx i, t.j. dosiahla sa rovnováha: do výroby je možné zapojiť ďalšie jednotky dx i i-tého zdroja vynaložením p i dx. i na jeho nákupe, ale nebude to žiadny zisk, t dostaneme po spracovaní produktov presne za rovnakú sumu, akú sme minuli. Optimálnym bodom daným vzťahom (2.1) je teda rovnovážny bod - z komoditných zdrojov už nie je možné vyžmýkať viac, ako sa minulo na ich nákup.

Je zrejmé, že k nárastu produkcie firmy dochádzalo postupne: spočiatku boli náklady na marginálne produkty nižšie ako nákupná cena tovarových zdrojov potrebných na ich výrobu. Zvyšovanie objemu výroby pokračuje, kým sa nezačne napĺňať vzťah (2.1): rovnosť hodnoty marginálnych produktov a nákupnej ceny potrebnej na ich produkciu komoditných zdrojov.

Predpokladajme, že vo firemnej úlohe W(X) = vf(X) – PX → max, X  0 je riešenie X * jedinečné pre v > 0 a P > 0. Dostaneme teda vektorovú funkciu X * = X * (v, P), alebo funkcie x * I = x * i (v, p 1, p m) pre i = 1, ..., m. Tieto m funkcie sú tzv funkcie dopytu po zdrojoch za dané ceny produktov a zdrojov. V podstate tieto funkcie znamenajú, že ak sa tvoria ceny P za zdroje a cena v za výstupný produkt, tento producent (charakterizovaný touto produkčnou funkciou) určuje objem spracovaných zdrojov funkciami x * I = x * i (v , p 1 , p m) a žiada tieto objemy na trhu. Poznaním objemov spracovaných zdrojov a ich dosadením do produkčnej funkcie získame produkciu ako funkciu cien; túto funkciu označíme q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . To sa nazýva funkcia návrhu produktu v závislosti od ceny v pre produkty a ceny P pre zdroje.

Podľa definície, zdroj i-tého typu volal malej hodnoty, ak a len vtedy,x * i /v t.j. s rastom ceny produktov klesá dopyt po zdroji nízkej hodnoty. Je možné dokázať dôležitý vzťah: q * /P = -X * /v alebo q * /p i = -x * i /v, pre i = 1, …, m. Preto zvýšenie ceny produkcie vedie k zvýšeniu (zníženiu) dopytu po určitom druhu zdroja vtedy a len vtedy, ak zvýšenie platby za tento zdroj vedie k zníženiu (zvýšeniu) optimálneho výstupu. Toto ukazuje hlavnú vlastnosť zdrojov nízkej hodnoty: zvýšenie platieb za ne vedie k zvýšeniu produkcie! Je však možné dôsledne dokázať existenciu takých zdrojov, ktorých zvýšenie platby vedie k zníženiu produkcie (t. j. všetky zdroje nemôžu mať nízku hodnotu).

Je tiež možné dokázať, že x * i /p i sú komplementárne, ak x * i /p j sú vzájomne zameniteľné, ak x * i /p j > 0. To znamená, že pre komplementárne zdroje zvýšenie ceny jeden z nich vedie k poklesu dopytu po druhom a pri zameniteľných zdrojoch zvýšenie ceny jedného z nich vedie k zvýšeniu dopytu po druhom. Príklady doplnkových zdrojov: počítač a jeho súčasti, nábytok a drevo, šampón a kondicionér naň. Príklady zameniteľných zdrojov: cukor a náhrady cukru (ako je sorbitol), vodné melóny a melóny, majonéza a kyslá smotana, maslo a margarín atď.

Príklad 2 Pre firmu s produkčnou funkciou Y = 100K 1/2 L 1/3 (z príkladu 1) nájdite optimálnu veľkosť, ak doba odpisovania dlhodobého majetku N=12 mesiacov, mzda zamestnanca za mesiac a = 1000 rubľov.

Riešenie. Optimálnu veľkosť výkonu alebo objemu výroby zistíme zo vzťahu (2.1). V tomto prípade sa výstup meria v peňažnom vyjadrení, takže v = 1. Náklady na mesačnú údržbu jedného rubľa finančných prostriedkov sú 1/N, t.j. získame systém rovníc

, pri riešení ktorého nájdeme odpoveď:
L = 8. 103, K = 144. 106.

2.6. Úlohy

1. Nech produkčná funkcia je Cobb-Douglasova funkcia. Na zvýšenie produkcie o 1 % je potrebné zvýšiť základný majetok o b = 4 % alebo počet zamestnancov o c = 3 %. V súčasnosti jeden pracovník mesačne vyrába výrobky za M = 10 5 rubľov . a celkový počet zamestnancov je L = 10 4 . Dlhodobý majetok sa oceňuje na K = 10 6 rubľov. Nájdite produkčnú funkciu, priemernú rentabilitu aktív, priemernú produktivitu práce, pomer kapitálu a práce.

2. Skupina „kyvadloobchodníkov“ vo výške E sa rozhodla spojiť s N predajcami. Zisk z dennej práce (príjmy mínus výdavky, ale nie mzdy) je vyjadrený vzorcom Y = 600(EN) 1/3 . Plat "kyvadlo" 120 rubľov. za deň, predávajúci - 80 rubľov. o deň. Nájdite optimálne zloženie skupiny „kyvadlov“ a predajcov, teda koľko by malo byť „kyvadlov“ a koľko predajcov.

3. Podnikateľ sa rozhodol založiť v malom motorová dopravná spoločnosť. Po preštudovaní štatistík videl, že približná závislosť denného zárobku od počtu áut A a čísla N je vyjadrená vzorcom Y = 900A 1/2 N 1/4. Odpisy a iné denné výdavky na jeden stroj sú 400 rubľov, denná mzda pracovníka je 100 rubľov. Nájdite optimálny počet pracovníkov a vozidiel.

4. Podnikateľ sa rozhodol otvoriť pivný bar. Predpokladajme, že závislosť tržieb Y (mínus náklady na pivo a občerstvenie) od počtu stolov M a počtu čašníkov F je vyjadrená vzorcom Y = 200M 2/3 F 1/4 . Náklady na jeden stôl sú 50 rubľov, plat čašníka je 100 rubľov. Nájdite optimálnu veľkosť baru, teda počet čašníkov a stolov.

Izokvanty a izokliny PF

Ak sa opäť vrátime k metóde analógie, tak ako v prípade modelu spotrebiteľského správania, aj v teórii modelovania výrobných procesov môžeme vyčleniť koncept indiferenčnej krivky výrobcu. Tento koncept môže zodpovedať mnohým súborom výrobných faktorov, ktoré zodpovedajú rovnakému množstvu vyrobeného produktu, tj:

Volá sa množina bodov vyhovujúcich rovnosti (4.1). izokvanta PF ( iso- stály, množstvo- suma). Každá izokvanta zodpovedá rôzne úrovne výroba produktov ( r ), navyše izokvantám, ktoré sú od nulového bodu (bodu nečinnosti) vzdialenejšie, zodpovedá viac vysoké hodnoty r . Rovnaké vlastnosti ako indiferenčné krivky majú aj izokvanty (sú navzájom rovnobežné, nepretínajú sa s osou x a ordinátou atď.) Pre dvojfaktorový PF bude izokvanta v podstate vyjadrovať funkčnú závislosť kapitálových nákladov od práce. náklady na danej úrovni produkcie:

Výrobca si môže rôznymi technológiami zvoliť rôzne kombinácie výrobných faktorov a zároveň udržať konštantnú úroveň výroby. Podľa izokvanty zvýšenie jedného faktora povedie k zníženiu druhého. Preto musí existovať charakteristika, ktorá umožňuje vyhodnotiť kompenzáciu jedného faktora iným. Takáto charakteristika je hraničná miera substitúcie(podobne ako v teórii spotrebiteľského úžitku):

, (4.2)

čo ukazuje, aké zvýšenie faktora j kompenzovať pokles faktora i na jednotku tak, aby úroveň výroby produktu zostala rovnaká (substitúcia faktorov i faktor j ).

Obrátená substitúcia (faktora j faktorom i) bude teda charakterizovaná prevrátenou hodnotou: .

Podľa vzťahu medzi koeficientom elasticity a hraničným produktom (4.1) možno hraničnú mieru substitúcie vyjadriť ako:

(4.3)

Podľa (4.1) pre dvojfaktorový PF máme:

- hraničná miera substitúcie kapitálu prácou;

je hraničná miera substitúcie práce kapitálom.

Podľa (4.3) pre dvojfaktorový model možno hraničnú mieru substitúcie vyjadriť aj pomocou koeficientov elasticity:

, kde do - pomer kapitálu a práce.

Spolu s izokvantami hrá dôležitú úlohu v PF izokliny sú množiny bodov v ekonomickej oblasti, pre ktoré je hraničná miera substitúcie i - faktor j -m je konštantné:

Použitím konceptu izokliny (izoklina) je možné transformovať ľubovoľný súbor faktorov (L,K) do súpravy (Y,MRS) , teda riešením sústavy rovníc:

bude:

Homogénna PF s konštantnou hraničnou mierou substitúcie práce kapitálom a stupňom homogenity 5 = 1 patrí do triedy lineárne funkcie, teda .

Pre dvojfaktorový PF je teda každý bod izokvanty charakterizovaný nákladmi kapitálu a práce alebo hraničnou mierou substitúcie práce kapitálom. PANI LK a pomer kapitálu a práce k . Ak sa obrátime na geometrické zobrazenie, potom PANI LK sa rovná sklonu dotyčnice k danému bodu izokvanty a hodnota k sa rovná sklonu lúča vychádzajúceho z počiatku a prechádzajúceho daným bodom izokvanty (pozri obr. Ryža. 4.2).

Obrázok 4.2

Napríklad v bode AT hodnota mzdových nákladov je väčšia ako v bode ALE , teda hodnota PANI LK v bode AT menej ako bod ALE . V súlade s tým bod AT bude zodpovedať nižšej hodnote pomeru kapitálu a práce ako v bode ALE .

Tým sa stáva zrejmá súvislosť medzi zmenou pomeru kapitálu a práce a hraničnou mierou náhrady kapitálu prácou, to znamená, že sa opäť dostávame ku konceptu elasticity, konkrétne elasticity nahradenia práce kapitálom, čo ukazuje, ako pomer kapitálu a práce sa výrazne zmení, keď sa hraničná miera nahradenia práce kapitálom zmení o jedno percento.

(4.4)

Dá sa tiež graficky ukázať, že keď sa zakrivenie izokvanty zvyšuje, elasticita Eσ znižuje (pozri Ryža. 4.3).

Obrázok 4.3

Všimnite si, že v oboch prípadoch v bodoch ALE a AT hodnoty PANI LK zostávajú rovnaké a hodnota pomeru medzi kapitálom a prácou v tomto bode ALE vyššie ako bod AT . Z toho vyplýva ďalšia dôležitá vlastnosť: pre homogénny PF elasticita substitúcie práce kapitálom závisí len od pomeru kapitál a práce a zostáva konštantná pozdĺž lúčov začínajúcich od nulového bodu.

Vyjadrime súvislosť medzi PANI LK a k s konštantnou elasticitou Eσ . Podľa (4.4) máme:

(4.5)

Za predpokladu závislosti PANI LK(k) , môžeme napísať (4.5) ako obyčajnú diferenciálnu rovnicu:

(4.6)

Integrácia (4.6) poskytuje:

alebo po konverzii:

, kde

V dôsledku toho podmienka, aby elasticita nahradenia práce kapitálom bola konštantná, dáva mocensko-právny vzťah medzi veličinami PANI LK a k . V súlade s tým bude prípad jednotkovej elasticity zodpovedať lineárnemu vzťahu medzi uvedenými veličinami:

Zavedenie konceptu konštantnej elasticity substitúcie viedlo k všeobecnej forme homogénnej PF, pre ktorú je elasticita substitúcie faktorov konštantná. Takéto PF sa nazývajú PF. trieda CES (Konštantná elasticita substitúcie). Funkcie tejto triedy boli prvýkrát navrhnuté Arrow od Kennetha a Solow Robert v roku 1961. Funkcie tejto triedy predpokladajú, že nahradenie práce kapitálom je možné len v určitých medziach a neexistujú technológie, ktoré by umožnili vyrobiť dané množstvo produktu za cenu výrobných faktorov pod určitými kritickými hodnotami. (Geometricky to znamená, že je možné zostrojiť asymptoty k izokvantám a tie budú zodpovedať minimálnym možným hodnotám práce a kapitálu. Je možné odvodiť matematické vzťahy asymptot, v tejto prezentácii nebudeme uvádzať tento materiál.)

Mnohé PF sú v skutočnosti špeciálnymi alebo obmedzujúcimi prípadmi funkcií CES, ktorých hlavné charakteristiky sú uvedené v Tabuľka 4.1.

Tabuľka 4.1

Koncepcia výrobného systému a výrobného procesu. Technologický proces a technologický súbor

Hlavnou úlohou každého výrobného procesu je tvorba pridanej hodnoty a nového ekonomického produktu, ktorý sa potom zúčastňuje následných procesov výmeny a spotreby. Je známe, že výrobný proces je na jednej strane podmienkou pre vznik procesov spotreby a na druhej strane zastavenie spotreby vedie k zastaveniu výrobného procesu. V dôsledku toho je vývoj výrobných procesov determinovaný ekonomickým správaním spotrebiteľa. Tento vzťah možno znázorniť ako nasledujúci koncepčný model fungovania ekonomického subjektu:

Centrálnym článkom je model výrobného procesu, ktorý spája vstupné premenné výrobného systému s výstupom; model trhu so zdrojmi je nevyhnutnou podmienkou fungovania výrobného procesu; model trhu produktov nevyhnutná podmienka existencia a obnovenie výrobného procesu; model rozhodovania - výber najlepšieho rozhodnutia v určitom zmysle výrobcu komodity o objemoch produkcie na základe informácií o podmienkach trhu a výrobných možnostiach.

Moderné pohľady v oblasti modelovania výrobných procesov sú založené na teóriách ekonómovia -neoklasicistický , ktorý navrhol model „ekonomického“ človeka, ktorého ekonomické správanie je determinované úžitkovou funkciou.

Touto cestou, výrobný proces je proces vytvárania pridanej hodnoty cieľavedomou premenou jedného súboru tovarov na iný. ekonomický systém, v ktorej je organizovaný a prebieha výrobný proces, je tzv výrobný systém alebo výroba. Cieľom každého výrobného systému je požadovaný konkrétny konečný budúci stav alebo výsledok. ekonomická aktivita. Z pohľadu neoklasickej ekonomickej teórie sú cieľom výrobcu maximalizácia príjmu alebo zisku, prípadne minimalizácia nákladov. Spotrebovaný tovar vo výrobnom procese tzv výrobné faktory tovar prijatý ako výsledok výrobného procesu – výrobné produkty.

Z tohto hľadiska je každý výrobný systém so zložitou vnútornou štruktúrou „čiernou skrinkou“, pričom informácie o výrobných faktoroch (vstupné informácie) a produkte (výsledku) sú známe a neznáma vnútorná štruktúra je popísaná pomocou nejakej výroby. funkciu. Zároveň je potrebné pripomenúť, že model „čiernej skrinky“ je užitočný pre ekonóma, ale neužitočný pre manažéra reformujúceho Organizačná štruktúra a procesy v systéme.

Okrem konceptu produkčných funkcií sú pre modelovanie výrobných procesov dôležité také koncepty ako koncept elasticity výrobných faktorov, hraničná miera substitúcie výrobných faktorov, keďže zdroje vo výrobnom systéme môžu pôsobiť ako náhradný tovar. Okrem toho v reálnom výrobnom procese nie je možné vyrobiť produkt pri úplnej absencii akéhokoľvek výrobného faktora, to znamená, že môžeme hovoriť o komplementárnosti výrobných faktorov, teda o ich komplementárnosť.

Technológia je technický spôsob premeny výrobných faktorov na produkty. Existuje obrovské množstvo dostupných technológií, z ktorých si výrobcovia vyberajú tú najefektívnejšiu. Technológia definuje vzťah medzi prvkom u spomedzi výrobných faktorov a prvku v z produktovej oblasti. Technologický proces je súbor vzťahov medzi prvkami u i a vj (), tak je to najjednoduchší model výrobného procesu. Na druhej strane sa tvorí súbor technologických procesov technologická súprava . Technologické súpravy majú nasledujúce vlastnosti:

1. nemožnosť existencie „rohu hojnosti“, teda nulového technologického postupu (bez nákladov na výrobné faktory) patrí do technologického súboru a znamená nečinnosť;

2. technologický súbor je konvexný, to znamená, že technologické postupy možno kombinovať (niektorý technologický postup môže byť konvexnou kombináciou iných);

3. technologický súbor je limitovaný zhora, čo je spojené s obmedzenými (vyčerpateľnými) zdrojmi (výrobnými faktormi);

4. technologický súbor je uzavretý, čiže má hranice.

Efektívne technologické procesy sú opísané bodmi ležiacimi na efektívnej hranici konvexného technologického súboru.

Spôsob technologických zostáv nám umožňuje popísať viacproduktová výroba, keďže prísny prechod od technologických súborov k produkčným funkciám je možný agregáciou výrobných faktorov a produktov.

Na záver konštatujeme, že existujú dva alternatívne prístupy k riešeniu problému optimálneho riadenia výrobných procesov. Prvý prístup zvažuje problém maximalizácie výroby produktu pre fixné rozpočtové obmedzenia. Riešenie tohto problému je založené na analýze produkčnej funkcie výrobného systému s prihliadnutím na trhovú hodnotu práce a kapitálu a veľkosť výrobného rozpočtu. Druhý prístup rieši problém minimalizácie výrobných nákladov na danej úrovni produkcie produktu. Tento problém sa rieši pomocou nákladovej funkcie, ktorú možno vypočítať z dostupnej výrobnej funkcie. Tieto dva prístupy vedú pri riešení optimalizačných problémov k rovnakému výsledku. ( Pamätajte na dualitu!).

Predstavte si ekonomiku s l tovarmi. Pre konkrétnu firmu je prirodzené, že niektoré z týchto tovarov považuje za výrobné faktory a niektoré za výstup. Je potrebné poznamenať, že takéto rozdelenie je skôr svojvoľné, pretože spoločnosť má dostatočnú voľnosť pri výbere sortimentu a štruktúry nákladov. Pri popise technológie budeme rozlišovať medzi výstupom a nákladmi, pričom tieto náklady predstavíme ako výstup so znamienkom mínus. Pre uľahčenie prezentácie technológie budú produkty, ktoré firma nespotrebováva ani nevyrába, označované ako jej výstup a objem produkcie tohto produktu sa predpokladá 0. V zásade nie je vylúčená situácia v r. ktorý produkt vyrobený firmou aj spotrebúva vo výrobnom procese. V tomto prípade budeme brať do úvahy iba čisté uvoľnenie tento produkt, teda jeho výkon mínus náklady.

Nech je počet výrobných faktorov n a počet výstupov m, takže l = m + n. Označme vektor nákladov (podľa absolútna hodnota) až r Rn + a výstupné objemy cez y Rm + . Zavolá sa vektor (−r, yo ). vektor čistých problémov. Množina všetkých technologicky realizovateľných vektorov čistého výstupu y = (−r, yo ) je technologická súprava Y . V uvažovanom prípade je teda akýkoľvek technologický súbor podmnožinou Rn − × Rm +.

Tento opis výroby má všeobecný charakter. Zároveň je možné nedodržiavať strnulé rozdelenie tovaru na produkty a výrobné faktory: ten istý tovar je možné minúť jednou technológiou a vyrobiť inou. V tomto prípade Y Rl.

Popíšme vlastnosti technologických súborov, v rámci ktorých sa zvyčajne uvádza popis konkrétnych tried technológií.

1. Neprázdnota

Technologická zostava Y je neprázdna.

Táto vlastnosť znamená zásadnú možnosť vykonávania výrobných činností.

2. Uzáver

Technologická zostava Y je uzavretá.

Táto vlastnosť je skôr technická; to znamená, že technologická množina obsahuje svoju hranicu a limit akejkoľvek sekvencie technologicky realizovateľných vektorov čistého výstupu je tiež technologicky realizovateľným vektorom čistého výstupu.

3. Sloboda míňania:

ak y Y a y0 6 y, potom y0 Y.

Túto vlastnosť možno interpretovať ako schopnosť produkovať rovnaké množstvo výstupu pri vyšších nákladoch alebo menšie množstvo pri rovnakých nákladoch.

4. Nedostatok „rohu hojnosti“ („žiadny obed zadarmo“)

ak y Y a y > 0, potom y = 0.

Táto vlastnosť znamená, že na výrobu produktov v kladnom množstve sú potrebné náklady v nenulovom objeme.

Ryža. 4.1. Technologický súbor s rastúcimi výnosmi z rozsahu.

5. Nezvyšujúce sa výnosy z rozsahu:

ak y Y a y0 = λy, kde 0< λ < 1, тогда y0 Y.

Táto vlastnosť sa niekedy nazýva (nie presne) klesajúce výnosy z rozsahu. V prípade dvoch tovarov, kde jeden sa minie a druhý sa vyrába, klesajúce výnosy znamenajú, že (maximálna možná) priemerná produktivita vstupného faktora sa nezvýši. Ak sa do hodiny môžete rozhodnúť najlepší prípad 5 problémov rovnakého typu v mikroekonómii, potom za dve hodiny v podmienkach klesajúcich výnosov ste nedokázali vyriešiť viac ako 10 takýchto problémov.

päťdesiat . Neklesajúce výnosy z rozsahu:

ak y Y a y0 = λy, kde λ > 1, potom y0 Y.

V prípade dvoch tovarov, kde sa jeden minie a druhý vyrába, zvyšujúce sa výnosy znamenajú, že (maximálna možná) priemerná produktivita vstupného faktora neklesá.

500 . Konštantné návraty z rozsahu - situácia, keď technologická zostava spĺňa podmienky 5 a 50 súčasne, t.j.

ak y Y a y0 = λy0, potom y0 Y λ > 0.

Geometricky konštantné návraty do mierky znamenajú, že Y je kužeľ (pravdepodobne neobsahuje 0).

V prípade dvoch tovarov, kde sa jeden spotrebúva a druhý vyrába, konštantné výnosy znamenajú, že priemerná produktivita vstupného faktora sa nemení so zmenou výstupu.

Ryža. 4.2. Súprava konvexnej technológie so zmenšujúcimi sa návratmi z rozsahu

Vlastnosť konvexnosti znamená schopnosť „miešať“ technológie v akomkoľvek pomere.

7. Nevratnosť

ak y Y a y 6 = 0, potom (-y) / Y.

Nechajte vyrobiť 5 ložísk z kilogramu ocele. Nevratný znamená, že z 5 ložísk nie je možné vyrobiť kilogram ocele.

8. Aditívnosť.

ak y Y a y0 Y , potom y + y0 Y.

Vlastnosť aditívnosti znamená schopnosť kombinovať technológie.

9. Prípustnosť nečinnosti:

Veta 44:

1) Z nezvyšujúcich sa výnosov z rozsahu a aditívnosti technologického súboru vyplýva jeho konvexnosť.

2) Z konvexnosti technologického súboru a prípustnosti nečinnosti vyplývajú nezvyšujúce sa výnosy z rozsahu. (Opak nie je vždy pravdou: pri nezvyšujúcich sa výnosoch môže byť technológia nekonvexná, pozri obr. 4.3 .)

3) Technologická súprava má vlastnosti aditívne a nezvyšujúce sa

sa vráti do mierky vtedy a len vtedy, ak ide o konvexný kužeľ.

Ryža. 4.3. Nekonvexná technologická súprava s nezvyšujúcim sa výnosom z rozsahu.

Nie všetky oprávnené technológie sú z ekonomického hľadiska rovnako dôležité. Medzi prípustnými vyčnievajú efektívne technológie . Prípustná technológia y sa nazýva efektívna, ak neexistuje žiadna iná (od nej odlišná) prípustná technológia y0 taká, že y0 > y. Je zrejmé, že z tejto definície efektívnosti implicitne vyplýva, že všetky tovary sú v určitom zmysle žiaduce. Efektívne technológie tvoria efektívna hranica technologická súprava. O určité podmienky ukazuje sa, že pri analýze je možné použiť efektívnu hranicu namiesto celého technologického súboru. Tu je dôležité, aby pre akúkoľvek prípustnú technológiu y existovala účinná technológia y0 taká, že y0 > y. Aby bola táto podmienka splnená, vyžaduje sa, aby technologický súbor bol uzavretý a aby v rámci technologického súboru nebolo možné zvýšiť výkon jedného tovaru do nekonečna bez zníženia výkonu iného tovaru. Dá sa ukázať, že ak technologický

Ryža. 4.4. Efektívna hranica technologického súboru

súbor má slobodu utrácať majetok, potom efektívna hranica jednoznačne definuje zodpovedajúci technologický súbor.

Počiatočné kurzy a kurzy strednej zložitosti pri popise správania výrobcu sú založené na reprezentácii jeho produkčnej množiny pomocou produkčnej funkcie. Je vhodné sa opýtať, za akých podmienok na výrobnej súprave je takéto zobrazenie možné. Aj keď je možné uviesť širšiu definíciu produkčnej funkcie, ďalej sa budeme baviť len o „jednoproduktových“ technológiách, teda m = 1.

Nech R je priemet technologickej množiny Y do priestoru vektorov nákladov, t.j.

R = (r Rn | yo R: (-r, yo) Y).

Definícia 37:

Zavolá sa funkcia f( ) : R 7→R produkčná funkcia, predstavujúce technológiu Y , ak pre každé r R je hodnota f(r) hodnotou nasledujúceho problému:

áno → max

(−r, yo ) Y.

Všimnite si, že ľubovoľný bod efektívnej hranice technologickej množiny má tvar (−r, f(r)). Opak je pravdou, ak f(r) je rastúca funkcia. V tomto prípade yo = f(r) je efektívna okrajová rovnica.

Nasledujúca veta udáva podmienky, za ktorých môže byť reprezentovaná technologická množina??? produkčná funkcia.

Veta 45:

Nech pre technologickú množinu Y R × (−R) pre ľubovoľné r R množinu

F (r) = ( yo | (-r, yo ) Y )

uzavreté a ohraničené zhora. Potom Y môže byť reprezentované produkčnou funkciou.

Poznámka: Splnenie podmienok tohto tvrdenia je možné zaručiť napríklad vtedy, ak je množina Y uzavretá a má vlastnosti nezvyšujúcich sa výnosov z mierky a absenciu roh hojnosti.

Veta 46:

Nech je množina Y uzavretá a má vlastnosti nezvyšujúcich sa výnosov z mierky a absenciu roh hojnosti. Potom pre ľubovoľné r R množinu

F (r) = ( yo | (-r, yo ) Y )

uzavreté a ohraničené zhora.

Dôkaz: Uzatvorenosť množín F (r) vyplýva priamo z uzavretosti Y . Ukážme, že F (r) sú ohraničené zhora. Nech to tak nie je a pre niektorých r R

existuje nekonečne rastúca postupnosť (yn ) taká, že yn F (r). Potom, v dôsledku nezvyšujúcich sa výnosov z rozsahu (−r/yn , 1) Y . Preto (kvôli uzavretosti) (0, 1) Y , čo je v rozpore s absenciou roh hojnosti.

Všimnite si tiež, že ak technologická množina Y spĺňa hypotézu voľných výdavkov a existuje produkčná funkcia f(), ktorá ju reprezentuje, potom množina Y je opísaná nasledujúcim vzťahom:

Y = ( (-r, yo) | yo6f(r), rR) .

Stanovme si teraz niekoľko vzťahov medzi vlastnosťami technologického súboru a výrobnou funkciou, ktorá ho predstavuje.

Veta 47:

Nech je technologická množina Y taká, že pre všetky r R je definovaná produkčná funkcia f(·). Potom platí nasledovné.

1) Ak je množina Y konvexná, potom je funkcia f( ) konkávna.

2) Ak množina Y spĺňa hypotézu o voľných výdavkoch, platí to aj naopak, t.j. ak je funkcia f( ) konkávna, potom je množina Y konvexná.

3) Ak je Y konvexné, potom f() je spojité vo vnútri R.

4) Ak má množina Y vlastnosť voľného míňania, funkcia f() neklesá.

5) Ak má Y vlastnosť bez hojnosti, potom f(0) 6 0.

6) Ak má množina Y vlastnosť prípustnosti nečinnosti, potom f(0) > 0.

Dôkaz: (1) Nech r0 , r00 R. Potom (−r0, f(r0)) Y a (−r00, f(r00)) Y a

(−αr0 − (1 − α)r00, αf(r0) + (1 − α)f(r00)) Y α,

keďže množina Y je konvexná. Potom podľa definície produkčnej funkcie

αf(r0) + (1 − α)f(r00) 6 f(αr0 + (1 − α)r00),

čo znamená, že f() je konkávne.

(2) Keďže množina Y má vlastnosť voľného míňania, potom sa množina Y (až po znamienko vektora nákladov) zhoduje s jej podzákresom. A podgrafom konkávnej funkcie je konvexná množina.

(3) Dokázaná skutočnosť vyplýva zo skutočnosti, že konkávna funkcia je vo vnútri spojitá

sti svojej domény definície.

(4) Nech r00 > r0 (ro, r00R). Keďže (−r0 , f(r0 )) Y , potom slobodou utrácať majetok (−r00 , f(r0 )) Y . Podľa definície produkčnej funkcie teda f(r00 ) > f(r0 ), teda f( ) neklesá.

(5) Nerovnosť f(0) > 0 je v rozpore s predpokladom, že neexistuje roh hojnosti. Preto f(0) 6 0.

(6) Predpokladom prípustnosti nečinnosti (0, 0) Y . Takže podľa definície

Za predpokladu existencie produkčnej funkcie možno vlastnosti technológie popísať priamo z hľadiska tejto funkcie. Ukážeme si to na príklade takzvanej elasticity mierky.

Nech je produkčná funkcia diferencovateľná. V bode r, kde f(r) > 0, definujeme

miestna elasticita e(r) ako:

Ak sa v určitom bode e(r) rovná 1, potom sa má za to, že v tomto bode neustále návraty do rozsahu ak je viac ako 1 tak zvýšenie výnosov, menej - klesajúce výnosy z rozsahu. Vyššie uvedená definícia môže byť prepísaná takto:

P ∂f(r) e(r) = i ∂r i r i.

Veta 48:

Technologický súbor Y nech je opísaný produkčnou funkciou f( ) a

v bod r, e(r) > 0. Potom platí nasledovné:

1) Ak má technologický súbor Y vlastnosť klesajúcich výnosov z rozsahu, potom e(r) 6 1.

2) Ak má technologická množina Y vlastnosť zvyšovať výnosy z rozsahu, potom e(r) > 1.

3) Ak má Y vlastnosť konštantných výnosov z rozsahu, potom e(r) = 1.

Dôkaz: (1) Zvážte postupnosť (λn) (0< λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) >λnf(r). Prepíšme túto nerovnosť takto:

	f(λn r) − f(r)
Prechádzame na limit, máme				λn - 1
						∂ri			ri 6 f(r).
Takže e(r) 6 1.
Vlastnosti (2) a (3) sú dokázané podobne.

Technologické sady Y môžu byť špecifikované ako implicitné produkčné funkcie g(·). Podľa definície sa funkcia g() nazýva implicitná produkčná funkcia, ak technológia y patrí do technologickej množiny Y vtedy a len vtedy, ak g(y) >

Všimnite si, že takáto funkcia sa dá vždy nájsť. Napríklad funkcia je vhodná, že g(y) = 1 pre y Y a g(y) = -1 pre y / Y . Všimnite si však, že danú funkciu nie je rozlíšiteľné. Všeobecne povedané, nie každý technologický súbor možno opísať jednou diferencovateľnou implicitnou produkčnou funkciou a takéto technologické súbory nie sú výnimočné. Najmä technologické súbory, zvažované v kurzoch elementárnej mikroekonómie, sú často také, že na ich opis sú potrebné dve (alebo viac) nerovností s diferencovateľnými funkciami, pretože je potrebné vziať do úvahy ďalšie obmedzenia na nezápornosť výrobných faktorov. Na zohľadnenie takýchto obmedzení je možné použiť implicitný vektor

Pomocou technologických zostáv sa modelujú výrobné procesy, ktoré realizuje výrobný systém. Každý systém má vstupy a výstupy:

Výrobný proces je reprezentovaný ako proces jednoznačnej premeny výrobných faktorov na produkty výroby v danom časovom intervale. Počas tohto časového intervalu faktory úplne zmiznú a objavia sa produkty.

Pri takomto modelovaní – premene faktorov na produkty – je úplne skrytá úloha vnútornej štruktúry výrobného systému, jeho organizácie a metód riadenia výroby.

Pozorovatelia majú prístup k informáciám o stave vstupov a výstupov systému. Tieto stavy sú určené na jednej strane bodom v priestore statkov a faktorov a na druhej strane je stav výstupov určený bodom v priestore výstupov.

Vesmírne modely zahŕňajú veľa vesmírnych faktorov, veľa vesmírnych parametrov a veľa dostupných technológií.

Technológia je technický spôsob premeny výrobných faktorov na produkty.

Technologický proces je usporiadaná množina dvoch vektorov, kde vektor výrobných faktorov je vektor produktov. Technologický proces je najjednoduchší model priestoru, ktorý sa skladá z niekoľkých prvkov:

Technologický postup je teda opísaný súborom (n + m)čísla: .

Vezmime si napríklad počítač typu A a , t. j. vyrobí sa jeden počítač, potom je opísaný tento technologický postup 7+1=8 čísla.

V praxi modelovania skutočných výrobné systémy ako prvá aproximácia je použitá hypotéza lineárnych technológií.

Lineárnosť technológií znamená nárast produktov V s rastúcimi súbormi faktorov U.

Zvážte hlavné vlastnosti technologických procesov:

1. Podobnosť.

Technologický postup je podobný, t.j. ~ ak je splnená podmienka: , čo znamená, že - ide o rovnaký technologický proces, ale s intenzitou:

Pre takéto procesy je splnený systém rovnosti:

Takéto procesy ležia na rovnakom nosníku výrobnej technológie.

2. Rozdiel.

Rôzne technologické procesy ležia na rôznych nosníkoch a nedajú sa navzájom previesť vynásobením kladným číslom.

3. Kompozitné technologické postupy.

Proces sa nazýva zložený, ak a existuje, takže .

Proces, ktorý nie je zloženým procesom, sa nazýva základný proces.

Lúč prechádzajúci počiatkom v smere základného procesu sa nazýva základný nosník. Každý základný nosník zodpovedá základnej technológii a všetky body základného nosníka odrážajú podobné technologické procesy.

Podľa definície sa základný pracovný postup nemôže vyjadriť ako lineárna kombinácia iných pracovných postupov.

V kladnom oktante je možné umiestniť nadrovinu, ktorá oddeľuje segmenty jednotiek od každej súradnice.

To vám umožní vizualizovať výrobnú technológiu.

Ukážme si možné priesečníky nadroviny technologickými lúčmi.

1) Jediná dostupná technológia je základná.

2) Vznik novej dodatočnej základnej technológie.

3) Lineárna kombinácia dvoch základných technológií.

4) Tretia doplnková základná technológia.

5) Možnosť vytvorenia technológií ležiacich vo vnútri trojuholníkovej oblasti.

6) Dve trojuholníkové oblasti so šiestimi základnými technológiami.

7) Kombinácia technológií - konvexný šesťuholník.

8) Prípad s nekonečným počtom základných technológií je možný.

Na týchto grafických obrázkoch všetky vnútorné a hraničné body, s výnimkou vrcholov, odrážajú zložené technologické procesy a súbor všetkých technologických procesov sa nazýva technologický súbor. Z.

Technologické súpravy majú nasledujúce vlastnosti:

1. Necvičiť roh hojnosti.

(Ø, V) Z, V dôsledku toho, V=Ø.

(Ø, Ø) Z znamená nečinnosť.

2. Technologický súbor je konvexný a procesy, ktorých lúče ležia na hranici tohto súboru, sa môžu navzájom miešať.

3. Technologický súbor je zhora obmedzený z dôvodu obmedzených ekonomických zdrojov.

4. Technologický súbor je uzavretý a efektívne technológie ležia na hranici tohto súboru.

Špecifickou vlastnosťou technologických súborov je existencia neefektívnych procesov.

Ak existuje, potom sú možné akékoľvek technologické procesy spĺňajúce podmienku (pre faktory), (pre produkty).

Existuje ( ,Ø) Z, čo znamená úplné zničenie výrobných faktorov. Neobjavujú sa v ňom vôbec žiadne produkty.

Technologický postup je efektívnejší ako keby a/alebo .

VÝROBNÁ FUNKCIA.

Matematický popis efektívny proces možno premeniť na výrobnú funkciu agregovaním výrobných faktorov, ako aj agregovaním produktov výroby do jedného produktu.