Производственное множество и его функции. Технологические множества

2. Производственные множества и производственные функции

2.1. Производственные множества и их свойства

Рассмотрим важнейшего участника экономических процессов – отдельного производителя. Производитель реализует свои цели только через потребителя и поэтому должен угадать, понять, что тот хочет, и удовлетворить его потребности. Будем считать, что имеется n различных товаров, количество n-го товара обозначается х n , тогда некоторый набор товаров обозначается Х = (x 1 , …, x n). Будем рассматривать только неотрицательные количества товаров, так что х i  0 для любого i = 1, ..., n или Х > 0. Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Набор товаров можно трактовать как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве.

Пусть экономика работает в пространстве товаров С = {X = (x 1 , x 2 , …, x n): x 1 , …, x n  0}. Пространство товаров состоит из неотрицательных n-мерных векторов. Рассмотрим теперь вектор T размерности n, первые m компонентов которого неположительные: x 1 , …, x m  0, а последние (n-m) компонентов неотрицательны: x m +1 , …, x n  0. Вектор X = (x 1 ,…, x m) назовем вектором затрат , а вектор Y = (x m+1 , …, x n) – вектором выпуска . Сам же вектор T = (X,Y) назовем вектором затрат-выпуска, или технологией .

По своему смыслу технология (X,Y) есть способ переработки ресурсов в готовую продукцию: «смешав» ресурсы в количестве X, получим продукцию в размере Y. Каждый конкретный производитель характеризуется некоторым множеством τ технологий, которое называется производственным множеством . Типичное заштрихованное множество представлено на рис. 2.1. Данный производитель затрачивает один товар для выпуска другого.

Рис. 2.1. Производственное множество

Производственное множество отражает широту возможностей производителя: чем оно больше, тем шире его возможности. Производственное множество должно удовлетворять следующим условиям:

оно замкнуто – это означает, что если вектор Т затрат-выпуска сколь угодно точно приближается векторами из τ, то и Т принадлежит τ (если все точки вектора Т лежат в τ, то Тτ см. рис. 2.1 точки С и В);

в τ(-τ) = {0}, т. е. если Tτ, T ≠ 0, то -Тτ – нельзя поменять местами затраты и выпуск, т. е. производство – необратимый процесс (множество – τ находится в четвертом квадранте, где у 0);

множество выпукло, это предположение ведет к уменьшению отдачи от перерабатываемых ресурсов с ростом объемов производства (к увеличению норм расхода затрат на готовую продукцию). Так, из рис. 2.1 ясно, что y/x  убывает при х  -. В частности, предположение о выпуклости ведет к уменьшению производительности труда с ростом объема производства.

Часто выпуклости просто бывает недостаточно, и тогда требуют строгой выпуклости производственного множества (или некоторой его части).

2.2. “Кривая” производственных возможностей

и вмененные издержки

Рассматриваемое понятие производственного множества отличается высокой степенью абстрактности и в силу чрезвычайной общности малопригодно для экономической теории.

Рассмотрим, например рис. 2.1. Начнем с точек В и С. Затраты по этим технологиям одинаковы, а выпуск разный. Производитель, если он не лишен здравого смысла, никогда не выберет технологию В, раз есть более лучшая технология С. В данном случае (см. рис. 2.1), найдем для каждого x  0 самую высокую точку (x, y) в производственном множестве. Очевидно, при затратах х технология (x, y) самая лучшая. Никакая технология (x, b) c b производственной функцией. Точное определение производственной функции:

Y = f(x)(x, y) τ, и если (x, b)  τ и b  y, то b = x.

Из рис. 2.1 видно, что для всякого x  0 такая точка y = f(x) единственна, что, собственно, и позволяет говорить о производственной функции. Но так просто дело обстоит, если выпускается только один товар. В общем случае для вектора затрат Х обозначим множество М х = {Y:(X,Y)τ}. Множество М х – это множество всех возможных выпусков при затратах Х. В этом множестве рассмотрим “кривую” производственных возможностей K x = {YМ х: если ZМ х и Z  Y, то Z = X}, т. е. K x – это множество лучших выпусков, лучше которых нет . Если выпускаются два товара, то это кривая, если же выпускается более двух товаров, то это поверхность, тело или множество еще большей размерности.

Итак, для любого вектора затрат Х все наилучшие выпуски лежат на кривой (поверхности) производственных возможностей. Поэтому из экономических соображений оттуда и должен выбрать производитель технологию. Для случая выпуска двух товаров y 1 , y 2 картина показана на рис. 2.2.

Если оперировать только натуральными показателями (тоннами, метрами и т. д.), то для данного вектора затрат Х мы лишь должны выбрать вектор выпуска Y на кривой производственных возможностей, но какой конкретно выпуск надо выбрать, решить еще нельзя. Если само производственное множество τ выпукло, то и М х выпукло для любого вектора затрат Х. В дальнейшем нам понадобится строгая выпуклость множества М х. В случае выпуска двух товаров это означает, что касательная к кривой производственных возможностей K x имеет с этой кривой только одну общую точку.

Рис. 2.2. Кривая производственных возможностей

Рассмотрим теперь вопрос о так называемых вмененных издержках . Предположим, что выпуск фиксирован в точке A(y 1 , y 2), см. рис. 2.2. Теперь возникла необходимость увеличить выпуск 2-го товара на y 2 , используя, конечно, прежний набор затрат. Сделать это можно, как видно из рис. 2.2, перенеся технологию в точку В, для чего с увеличением выпуска второго товара на y 2 придется уменьшить выпуск первого товара на y 1 .

Вмененными издержками первого товара по отношению ко второму в точке А называется
. Если кривая производственных возможностей задана неявным уравнением F(y 1 ,y 2) = 0, то δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), где частные производные взяты в точке А. Если внимательно вглядеться в рассматриваемый рисунок, то можно обнаружить любопытную закономерность: при движении слева вниз по кривой производственных возможностей вмененные издержки уменьшаются от очень больших величин до очень малых.

2.3. Производственные функции и их свойства

Производственной функцией называется аналитическое соотношение, связывающее переменные величины затрат (факторов, ресурсов) с величиной выпуска продукции. Исторически одними из первых работ по построению и использованию производственных функций были работы по анализу сельскохозяйственного производства в США. В 1909 г. Митчерлих предложил нелинейную производственную функцию: удобрения – урожайность. Независимо от него Спиллман предложил показательное уравнение урожайности. На их основе был построен ряд других агротехнических производственных функций.

Производственные функции предназначены для моделирования процесса производства некоторой хозяйственной единицы: отдельной фирмы, отрасли или всей экономики государства в целом. С помощью производственных функций решаются задачи:

оценки отдачи ресурсов в производственном процессе;

прогнозирования экономического роста;

разработки вариантов плана развития производства;

оптимизации функционирования хозяйственной единицы при условии заданного критерия и ограничений по ресурсам.

Общий вид производственной функции: Y = Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, X n), где Y – показатель, характеризующий результаты производства; X – факторный показатель i-го производственного ресурса; n – количество факторных показателей.

Производственные функции определяются двумя группами предположений: математических и экономических. Математически предполагается, что производственная функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Экономические предположения состоят в следующем: при отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно, т. е. Y(0, X 2 , …, X i , …, X n) =

Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …

Y(X 1 , X 2 , …, 0, …, X n) = …

Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, 0) = 0.

Однако, только с помощью натуральных показателей определить для данных затрат Х единственный выпуск Y удовлетворительно не удается: наш выбор сузился лишь до «кривой» производственных возможностей K x . В силу этих причин разработана лишь теория производственных функций производителей, выпуск которых можно охарактеризовать одной величиной – либо объемом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью всего выпуска.

Пространство затрат m-мерно. Каждой точке пространства затрат Х = (х 1 , …, х m) соответствует единственный максимальный выпуск (см. рис. 2.1), произведенный при использовании этих затрат. Эта связь и называется производственной функцией. Однако обычно производственную функцию понимают не столь ограничительно и всякую функциональную связь между затратами и выпуском считают производственной функцией. В дальнейшем будем считать, что производственная функция имеет необходимые производные. Предполагается, что производственная функция f(X) удовлетворяет двум аксиомам. Первая из них утверждает, что существует подмножество пространства затрат, называемое экономической областью Е, в которой увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Таким образом, если X 1 , X 2 – две точки этой области, то X 1  X 2 влечет f(X 1)  f(X 2). В дифференциальной форме это выражается в том, что в этой области все первые частные производные функции неотрицательны: f/x 1 ≥ 0 (у любой возрастающей функции производная больше нуля). Эти производные называются предельными продуктами , а вектор f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – вектором предельных продуктов (показывает во сколько раз изменится выпуск продукции при изменении затрат).

Вторая аксиома утверждает, что существует выпуклое подмножество S экономической области, для которой подмножества {XS:f(X)  a} выпуклы для всех а  0. В этом подмножестве S матрица Гёссе, составленная из вторых производных функции f(X), отрицательно определена, следовательно,  2 f/x 2 i

Остановимся на экономическом содержании этих аксиом. Первая аксиома утверждает, что производственная функция не какая-то совершенно абстрактная функция, придуманная теоретиком-математиком. Она, пусть и не на всей своей области определения, а только лишь на ее части, отражает экономически важное, бесспорное и в то же время тривиальное утверждение: в разумной экономике увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска. Из второй аксиомы поясним только экономический смысл требования, чтобы производная  2 f/x 2 i была меньше нуля для каждого вида затрат. Это свойство называется в экономике за коном убывающей отдачи или убывающей доходности : по мере увеличения затрат, начиная с некоторого момента (при входе в область S!), на чинает уменьшаться предельный продукт. Классическим примером этого закона является добавление все большего и большего количества труда в производство зерна на фиксированном участке земли. В дальнейшем подразумевается, что производственная функция рассматривается на области S, в которой обе аксиомы справедливы.

Составить производственную функцию данного предприятия можно, даже ничего не зная о нем. Надо только поставить у ворот предприятия счетчик (человека или какое-то автоматическое устройство), который будет фиксировать Х – ввозимые ресурсы и Y – количество продукции, которую предприятие произвело. Если накопить достаточно много такой статической информации, учесть работу предприятия в различных режимах, то потом можно прогнозировать выпуск продукции, зная только объем ввезенных ресурсов, а это и есть знание производственной функции.

2.4. Производственная функция Кобба-Дугласа

Рассмотрим одну из наиболее распространенных производственных функций – функцию Кобба-Дугласа: Y = AK  L  , где A, ,  > 0 – константы,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Отрицательность вторых частных производных, т. е. убывание предельных продуктов: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Перейдем к основным экономико-математическим характеристикам производственной функции Кобба-Дугласа. Средняя производительность труда определяется как y = Y/L – отношение объема произведенного продукта к количеству затраченного труда ; средняя фондоотдача k = Y/K – отношение объема произведенного продукта к величине фондов .

Для функции Кобба-Дугласа средняя производительность труда y = AK  L  , и в силу условия  с увеличением затрат труда средняя производительность труда падает. Этот вывод допускает естественное объяснение – поскольку величина второго фактора К остается неизменной, то, значит, вновь привлекаемая рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производства, что и приводит к снижению производительности труда (это справедливо и в самом общем случае – на уровне производственных множеств).

Предельная производительность труда Y/L = AβK α L β -1 > 0, откуда видно, что для функции Кобба-Дугласа предельная производительность труда пропорциональна средней производительности и меньше ее. Аналогично определяются средняя и предельная фондоотдачи. Для них также справедливо указанное соотношение – предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче и меньше ее.

Важное значение имеет такая характеристика, как фондовооруженность f = K/L, показывающая объем фондов, приходящийся на одного работника (на одну единицу труда) .

Найдем теперь эластичность продукции по труду:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Таким образом, ясен смысл параметра  – это эластичность (отношение предельной производительности труда к средней производительности труда) продукции по труду . Эластичность продукции по труду означает, что для увеличения выпуска продукции на 1 % необходимо увеличить объем трудовых ресурсов на  %. Аналогичный смысл имеет параметр  – это эластичность продукции по фондам .

И еще одно значение представляется интересным. Пусть  +  = 1. Легко проверить, что Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (подставляя уже вычисленные ранее Y/K, Y/L в эту формулу). Будем считать, что общество состоит только из рабочих и предпринимателей. Тогда доход Y распадается на две части – доход рабочих и доход предпринимателей. Поскольку при оптимальном размере фирмы величина Y/L – предельный продукт по труду – совпадает с заработной платой (это можно доказать), то (Y/L)L представляет собой доход рабочих. Аналогично величина Y/K есть предельная фондоотдача, экономический смысл которой есть норма прибыли, следовательно, (Y/K)K представляет доход предпринимателей.

Функция Кобба-Дугласа – наиболее известная среди всех производственных функций. На практике при ее построении иногда отказываются от некоторых требований (например, сумма  +  может быть больше 1 и т. п.).

Пример 1. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на а = 3 %, надо увеличить основные фонды на b = 6 % или численность работников на c = 9 %. В настоящее время один работник за месяц производит продукции на М = 10 4 руб. , а всего работников L = 1000. Основные фонды оцениваются в K = 10 8 руб. Найти производственную функцию.

Решение. Найдем коэффициенты , :  = а/b = 3/6 = 1/2,  = а/с = = 3/9 = 1/3, следовательно, Y = AK 1/2 L 1/3 . Для нахождения А подставим в эту формулу значения K, L, M, имея в виду, что Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = А(10 8) 1/2 1000 1/3 . Отсюда А = 100. Таким образом, производственная функция имеет вид: Y = 100K 1/2 L 1/3 .

2.5. Теория фирмы

В предыдущем разделе мы, анализируя, моделируя поведение производителя, использовали только натуральные показатели и обошлись без цен, однако не смогли окончательно решить задачу производителя, т. е. указать единственный способ действий для него в сложившихся условиях. Теперь введем в рассмотрение цены. Пусть Р – вектор цен. Если Т = (X,Y) – технология, т. е. вектор «затраты-выпуск», X – затраты, Y – выпуск, то скалярное произведение PT = PX + PY есть прибыль от использования технологии Т (затраты – отрицательные количества). Теперь сформулируем математическую формализацию аксиомы, описывающей поведение производителя.

Задача производителя: производитель выбирает технологию из своего производственного множества, стремясь максимизировать прибыль. Итак, производитель решает следующую задачу: РТ→max, Tτ. Эта аксиома резко упрощает ситуацию выбора. Так, если цены положительны, что естественно, то компонента «выпуск» решения этой задачи автоматически будет лежать на кривой производственных возможностей. Действительно, пусть T = (X,Y) – какое-нибудь решение задачи производителя. Тогда существует ZK x , Z  Y, следовательно, P(X, Z)  P(X, Y), значит, точка (X, Z) также есть решение задачи производителя.

Для случая двух видов продуктов задачу можно решить графически (рис. 2.3). Для этого надо «двигать» прямую линию, перпендикулярную вектору Р, в направлении, куда он показывает; тогда последняя точка, когда эта прямая линия еще пересекает производственное множество, и будет решением (на рис. 2.3. это точка Т). Как легко видеть, строгая выпуклость нужной части производственного множества во втором квадранте гарантирует единственность решения. Такие же рассуждения действуют и в общем случае, для большего числа видов затрат и выпуска. Однако мы не пойдем по этому пути, а используем аппарат производственных функций и производителя назовем фирмой. Итак, выпуск фирмы можно охарактеризовать одной величиной – либо объемом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью всего выпуска. Пространство затрат m-мерно, вектор затрат Х = (х 1 , …, х m). Затраты однозначно определяют выпуск Y, а эта связь и есть производственная функция Y = f(X).

Рис. 2.3. Решение задачи производителя

В данной ситуации обозначим через Р вектор цен на товары-затраты и пусть v – цена единицы выпускаемого товара. Следовательно, прибыль W, являющаяся в итоге функцией Х (и цен, но они считаются постоянными), есть W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Приравнивая частные производные функции W к нулю, получим:

v(f/x j) = p j для j = 1, …, m или v(f/X) = P (2.1)

Будем предполагать, что все затраты строго положительны (нулевые можно просто исключить из рассмотрения). Тогда точка, даваемая соотношением (2.1), оказывается внутренней, т. е. точкой экстремума. И поскольку еще предполагается отрицательная определенность матрицы Гёссе производственной функции f(Х) (исходя из требований к производственным функциям), то это точка максимума.

Итак, при естественных предположениях на производственные функции (эти предположения выполняются для производителя со здравым смыслом и в разумной экономике) соотношение (2.1) дает решение задачи фирмы, т. е. определяет объем Х * перерабатываемых ресурсов, в результате чего получается выпуск Y * = f(Х *) Точку Х * , или (Х * ,f(Х *)) назовем оптимальным решением фирмы. Остановимся на экономическом смысле соотношения (2.1). Как говорилось, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) называется предельным вектором-продуктом, или вектором предельных продуктов , а f/x i называется i-м предельным продуктом , или откликом выпуска на изменение i-го товара затрат . Следовательно, vf/x i dx i – это стоимость i-го предельного продукта, дополнительно полученного из dx i единиц i-го ресурса . Однако стоимость dx i единиц i-го ресурса равна р i dx i , т. е. получилось равновесие: можно вовлечь в производство дополнительно dx i единиц i-го ресурса, потратив на его закупку р i dx i , но выигрыша не будет, т. к. получим после переработки продукции ровно на такую же сумму, сколько затратили. Соответственно, оптимальная точка, даваемая соотношением (2.1), является точкой равновесия – уже невозможно выжать из товаров-ресурсов больше, чем затрачено на их покупку.

Очевидно, наращивание выпуска фирмы происходило постепенно: сначала стоимость предельных продуктов была меньше покупной цены потребных для их производства товаров-ресурсов. Наращивание объемов производства идет до тех пор, пока не начнет выполняться соотношение (2.1): равенство стоимости предельных продуктов и покупной цены, потребных для их производства товаров-ресурсов.

Предположим, что в задаче фирмы W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, решение Х * единственное для v > 0 и Р > 0. Таким образом, получается вектор-функция X * = X * (v, P), или функции x * I = x * i (v, p 1 , p m) для i = 1, …, m. Эти m функций называются функциями спроса на ресурсы при данных ценах на продукцию и ресурсы. Содержательно эти функции означают, что, если сложились цены Р на ресурсы и цена v на выпускаемый товар, данный производитель (характеризующийся данной производственной функцией) определяет объем перерабатываемых ресурсов по функциям x * I = x * i (v, p 1 , p m) и спрашивает эти объемы на рынке. Зная объемы перерабатываемых ресурсов и подставляя их в производственную функцию, получим выпуск как функцию цен; обозначим эту функцию через q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Она называется функцией предложения продукции в зависимости от цены v на продукцию и цен Р на ресурсы.

По определению, ресурс i-го вида называется малоценным , если и только если, x * i /v т. е. при повышении цены на продукцию спрос на малоценный ресурс уменьшается. Удается доказать важное соотношение: q * /P = -X * /v или q * /p i = -x * i /v, для i = 1, …, m. Следовательно, возрастание цены продукции приводит к повышению (понижению) спроса на определенный вид ресурсов, если и только если увеличении платы за этот ресурс приводит к сокращению (возрастанию) оптимального выпуска. Отсюда видно основное свойство малоценных ресурсов: увеличение платы за них ведет к увеличению выпуска продукции! Однако можно строго доказать наличие таких ресурсов, возрастание платы за которые приводит к уменьшению выпуска продукции (т.е. все ресурсы не могут быть малоценными) .

Удается доказать также, что x * i /p i взаимодополняемыми, если x * i /p j взаимозаменяемыми, если x * i /p j > 0. То есть, для взаимодополняемых ресурсов повышение цены на один из них приводит к падению спроса на другой, а для взаимозаменяемых ресурсов повышение цены на один из них приводит к увеличению спроса на другой. Примеры взаимодополняемых ресурсов: компьютер и его составляющие, мебель и дерево, шампунь и кондиционер к нему. Примеры взаимозаменяемых ресурсов: сахар и заменители сахара (например, сорбит), арбузы и дыни, майонез и сметана, масло и маргарин и т. д.

Пример 2. Для фирмы с производственной функцией Y = 100K 1/2 L 1/3 (из примера 1) найти оптимальный размер, если период амортизации основных фондов N=12 месяцев, зарплата работника в месяц а = 1000 руб.

Решение. Оптимальный размер выпуска или объема производства находится из соотношения (2.1). В данном случае выпуск продукции измеряется в денежном выражении, так что v = 1. Стоимость месячного содержания одного рубля фондов 1/N, т. е. получаем систему уравнений

, решая которую находим ответ:
, L = 8 . 10 3 , K = 144 . 10 6 .

2.6. Задачи

1. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на 1 %, надо увеличить основные фонды на b = 4 % или численность работников на c = 3 %. В настоящее время один работник за месяц производит продукции на М = 10 5 руб. , а всего работников L = 10 4 . Основные фонды оцениваются в K = 10 6 руб. Найдите производственную функцию, среднюю фондоотдачу, среднюю производительность труда, фондовооруженность.

2. Группа «челноков» в количестве Е решила объединиться с N продавцами. Прибыль от дня работы (выручка минус расходы, но не зарплата) выражается формулой Y = 600(EN) 1/3 . Зарплата «челнока» 120 руб. в день, продавца – 80 руб. в день. Найдите оптимальный состав группы из «челноков» и продавцов, т. е. сколько должно быть «челноков» и сколько продавцов.

3. Бизнесмен решил основать небольшое автотранспортное предприятие. Ознакомившись со статистикой, он увидел, что примерная зависимость ежедневной выручки от числа автомашин А и числа N выражается формулой Y = 900А 1/2 N 1/4 . Амортизационные и другие ежедневные расходы на одну машину равны 400 руб., ежедневная зарплата рабочего 100 руб. Найдите оптимальную численность рабочих и автомашин.

4. Бизнесмен задумал открыть пивной бар. Предположим, что зависимость выручки Y (за вычетом стоимости пива и закусок) от числа столиков М и числа официантов F выражается формулой Y = 200М 2/3 F 1/4 . Расходы на один столик составляют 50 руб., зарплата официанта – 100 руб. Найдите оптимальный размер бара, т. е. число официантов и столиков.

Характеризуется переменными, которые принимают активное участие в изменении производственной функции (капитала, земли, труда, времени). Нейтральный технический прогресс определяется такими техническими изменениями (автономного или материального вида), которые не нарушают равновесия, то есть экономически и социально безопасны для общества. Представим все это в виде схемы (см. схему 4.1.).

Рассмотрены основные типовые модели оптимизации производственной деятельности фирмы с линейным технологическим множеством, статистические и динамические модели планирования производственных инвестиций , вопросы экономико-математического анализа хозяйственных решений на основе использования аппарата двойственных оценок . Изложены основные подходы к проблематике оценки качества производственных инвестиций , а также методы и показатели оценки их эффективности.

Рассмотрим очень важный для модельных приложений случай, когда технологическое множество производственной системы является линейным выпуклым множеством , т. е. модель производства оказывается линейной.

Замечание. Совместно предположения 2.1 и 2.2 означают, что технологическое множество является выпуклым конусом . Предположение 2.3, выделяющее линейные технологии, означает, что этот конус является выпуклым многогранником в полупространстве

Можно ли утверждать, что в экономической области фирмы с линейным технологическим множеством производственная функция является монотонной Как связано определение производственной функции с критерием оптимальности в задаче Канторовича

Соотношение (3.26) дает возможность указать конкретный вид производственной функции для модели производственной системы с линейным технологическим множеством (рассмотренная выше модель (1.1)- (1.6))

Состояние каждого производственного элемента будем по-прежнему задавать вектором затраты-выпуск yt = = (vt, u), а модель ограничений - технологическим множеством Yt yt = (Vi, ut) e YI.

Общее технологическое множество производственного элемента может быть получено как результат объединения всех допустимых с точки зрения условий (2.1.2) и (2.1.3) векторов затраты - выпуск

Описание технологического множества однопродуктового элемента, приведенное в предыдущем параграфе, является простейшим. Учет дополнительных свойств технологии элемента приводит к необходимости дополнить его рядом черт. Некоторые из них мы рассмотрим в этом параграфе. Конечно, приводимые рассмотрения не исчерпывают всех имеющихся в этом направлении возможностей.

Сепарабельная выпуклая модель производства. Учет фактора нелинейности в описанной в предыдущем примере модели ограничений производства приводит к нелинейной сепарабельной модели многопродуктового элемента. Учет нелинейности осуществляется путем введения нелинейных сепарабельных производственных функций . Технологическое множество многопродуктового элемента с такими производственными функциями имеет вид

В рассмотренных технологических моделях производственных элементов описание технологического множества дается путем задания множества допустимых затрат и множества допустимых выпусков ду каждого уровня затрат. Такого рода описания удобны в задачах типа оптимального распределения ресурсов , в которых при заданных уровнях потребления ресурсов приходится определить допустимые и наиболее эффективные (в смысле того или иного критерия) уровни выпуска. Вместе с тем на практике (особенно в планируемой экономике) встречается также своего рода обратная задача , когда уровень выпуска продукции элементами задан планом и необходимо определить допустимые и минимальные уровни затрат элементов . Задачи такого рода могут быть условно названы задачами оптимального выполнения плановой программы выпуска. В таких задачах удобно применить обратную последовательность описания технологического множества производственного элемента сначала задавать множество U допустимых выпусков и g= U, а затем для каждого допустимого уровня выпусков - множество V (и) допустимых затрат v Е= V (и).

Общее технологическое множество Y производственного элемента при этом имеет вид

На рис. 3.4 этому ограничению удовлетворяют все точки технологического множества, расположенные выше отрезка ЕС или лежащие на нем.

В большей части оригинальным является и материал 4.21. Оценка эффективности рыночных механизмов , обеспечивающих существование единого равновесного управления, проводилась в работах . Материал 4.21 является расширением этих работ. Рассмотрение схемы аукциона в рыночной системе проводится согласно . Известной моделью, рассмотренной в качестве примера в этом параграфе, является модель рыночной экономики. Подробное ее рассмотрение можно найти, например, в работах . В 4.21 мы предполагали, что рыночное равновесие существует. Как показывает рассмотрение схемы аукциона в рыночной системе , это положение может не всегда иметь место. Рассмотрение вопросов, связанных с существованием равновесия в рыночных моделях ,- один из центральных вопросов математической экономики . Применительно к моделям конкурентной экономики существование равновесия установлено рядом авторов при различных предположениях . Обычно доказательство предполагает выпуклость функций полезности (или предпочтений) потребителей и технологических множеств производителей. В приводится обобщение модели Эрроу - Дебре на случай континуума игроков. При этом удалось отказаться от предположений о выпуклости функций предпочтений потребителей.

Каждый производитель (фирма) j характеризуется технологическим множеством Y. - совокупностью технологически допустимых л-мер-ных векторов затрат - выпуска их положительным компонентам соответствуют выпускаемые количества, а отрицательным - затрачиваемые. Предполагается, что производитель выбирает вектор затрат - выпуска так, чтобы получить максимальную прибыль. При этом он, как и потребитель, не пытается влиять на цены, принимая их заданными. Таким образом, его выбор является решением следующей задачи

Из (16) также следует слабая аксиома выявленного предпочтения . Неравенство (16) заведомо выполняется, если спрос каждого из потребителей строго монотонен при этом на технологические множества не накладывается особых требований. Интерпретация условия монотонности и ряд связанных с ним результатов приведены в . Для гладких функций избыточного спроса единственность равновесия обеспечивается также условием доминирующей диагонали . Это условие означает, что модуль производной спроса на каждый продукт по цене этого продукта больше суммы модулей всех производных спроса на тот же

Модель производителя. При выборе объемов производства yj = у к каждая фирма j e J ограничена своим технологическим множеством YJ с 1R1. Эти множества допустимых технологий можно задавать в частности в виде (неявных) производственных функций fj(yj) YJ = УЗ е Rl /,(%) > 0 . Другое удобное представление (когда производится только один товар h) - в виде явной производственной функции у 0.

Технологическое множество и его свойства

ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО - см. Производственное множество , Технологический способ.

Описание одного конкретного вида технологического множества рассмотрим для производственного элемента , потребляющего несколько видов затрат и выпускающего продукцию только одного вида (однопродуктовый производственный элемент). Вектор состояния такого элемента имеет вид yt- (vtl, viz,. . . , v. x, ut). Известный способ описания технологического множества однопродук-тового элемента основывается на понятии производственной функции и заключается в следующем.

Обычно предполагается, что технологическое множество элемента является выпуклым, замкнутым и содержащим нулевой элемент подмножеством евклидового пространства Ет размерности т О Е Y d Em.

Рассмотренные в предыдущем параграфе методы представления технологических множеств производственных элементов характеризуют их свойства, но не задают описание в явном виде. Для однойродуктовых производственных элементов явное описание технологического множества можно задать, используя понятие производственной функции . В 1.2 мы уже касались этого понятия и его использования, в этом параграфе рассмотрение этих вопросов будет продолжено.

Использование однопродуктовых производственных функций для описания технологического множества многопродуктового элемента. Если многопродуктовый элемент производит товых видов продукции, потребляя при этом /гевх видов затрат , то его векторы затрат и выпуска имеют вид v = (i>i, vz,. . ., Ут х) и и = (м1г w2,.. ., итвых) соответственно.

Ему соответствует часть технологического множества, ограниченная кривосторонним треугольником AB (отмечена штриховкой на рис. 3.4).

Модель децентрализованной экономики Эрроу - Деб-ре - Мак-Кснзи. Общая модель децентрализованной экономики описывает производство, потребление и децентрализованный

Рассмотрим экономику с l благами. Для конкретной фирмы естественно рассматривать часть из этих товаров как факторы производства и часть - как выпускаемую продукцию. Следует оговориться, что такое деление довольно условно, так как фирма обладает достаточной свободой в выборе ассортимента производимой продукции и структуры затрат. При описании технологии будем различить выпуск и затраты, представляя последние как выпуск со знаком минус. Для удобства представления технологии продукцию, которая и не затрачивается и не выпускается фирмой, будем относить к ее выпуску, причем объем производства этой продукции считаем равным 0. В принципе не исключена ситуация, в которой продукт, производимый фирмой, также потребляется ею в процессе производства. В этом случае мы будем рассматривать только чистый выпуск данного продукта, т. е. его выпуск минус затраты.

Пусть число факторов производства равно n, а число видов выпускаемой продукции равно m, так что l = m + n. Обозначим вектор затрат (по абсолютной величине) через r Rn + , а объемы выпусков через y Rm + . Вектор (−r, yo ) будем называть вектором чистых выпусков . Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков y = (−r, yo ) составляет технологическое множество Y . Таким образом, в рассматриваемом случае любое технологическое множество - это подмножество Rn − × Rm + .

Такое описание производства носит общий характер. При этом можно не придерживаться жесткого деления благ на продукты и факторы производства: одно и то же благо может при одной технологии затрачиваться, а при другой - производится. В этом случае Y Rl .

Опишем свойства технологических множеств, в терминах которых обычно дается описание конкретных классов технологий.

1. Непустота

Технологическое множество Y непусто.

Это свойство означает принципиальную возможность осуществления производственной деятельности.

2. Замкнутость

Технологическое множество Y замкнуто.

Это свойство скорее техническое; оно означает, что технологическое множество содержит свою границу, и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистого выпуска также является технологически допустимым вектором чистых выпусков.

3. Свобода расходования:

если y Y и y0 6 y, то y0 Y.

Это свойство можно интерпретировать как наличие возможности производить тот же самый объем выпуска, но посредством больших затрат, или меньший выпуск при тех же затратах.

4. Отсутствие «рога изобилия» (“no free lunch”)

если y Y и y > 0, то y = 0.

Это свойство означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы затраты в ненулевом объеме.

Рис. 4.1. Технологическое множество с возрастающей отдачей от масштаба.

5. Невозрастающая отдача от масштаба:

если y Y и y0 = λy, где 0 < λ < 1, тогда y0 Y.

Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.

50 . Неубывающая отдача от масштаба:

если y Y и y0 = λy, где λ > 1, тогда y0 Y.

В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, возрастающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не убывает.

500 . Постоянная отдача от масштаба - ситуация, когда технологической множества удовлетворяет условиям 5 и 50 одновременно, т. е.

если y Y и y0 = λy0 , тогда y0 Y λ > 0.

Геометрически постоянная отдача от масштаба означает, что Y является конусом (возможно, не содержащим 0).

В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, постоянная отдача означает, что средняя производительность затрачиваемого фактора не меняется при изменении объема производства.

Рис. 4.2. Выпуклое технологическое множество с убывающей отдачей от масштаба

Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии в любой пропорции.

7. Необратимость

если y Y и y 6= 0, то (−y) / Y.

Пусть из килограмма стали можно произвести 5 подшипников. Необратимость означает, что невозможно произвести из 5-ти подшипников килограмм стали.

8. Аддитивность.

если y Y и y0 Y , то y + y0 Y.

Свойство аддитивности означает возможность комбинировать технологии.

9. Допустимость бездеятельности:

Теорема 44:

1) Из невозрастающей отдачи от масштаба и аддитивности технологического множества следует его выпуклость.

2) Из выпуклости технологического множества и допустимости бездеятельности следует невозрастающая отдача от масштаба. (Обратное не всегда верно: при невозрастающей отдаче технология может быть невыпуклой, см. Рис. 4.3 .)

3) Технологическое множество обладает свойствами аддитивности и невозрастающей

отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда оно - выпуклый конус.

Рис. 4.3. Невыпуклое технологическое множество с невозрастающей отдачей от масштаба.

Не все допустимые технологии в равной степени важны с экономической точки зрения. Среди допустимых особо выделяются эффективные технологии . Допустимую технологию y принято называть эффективной, если не существует другой (отличной от нее) допустимой технологии y0 , такой что y0 > y. Очевидно, что такое определение эффективности неявно подразумевает, что все блага являются в определенном смысле желательными. Эффективные технологии составляют эффективную границу технологического множества. При определенных условиях оказывается возможным использовать в анализе эффективную границу вместо всего технологического множества. При этом важно, чтобы для любой допустимой технологии y нашлась эффективная технология y0 , такая что y0 > y. Для того, чтобы это условие было выполнено, требуется, чтобы технологическое множество было замкнутым, и чтобы в пределах технологического множества невозможно было увеличивать до бесконечности выпуск одного блага, не уменьшая при этом выпуск других благ. Можно показать, что если технологическое

Рис. 4.4. Эффективная граница технологического множества

множество обладает свойством свободы расходования, то эффективная граница однозначно задает соответствующее технологическое множество.

Начальные курсы и курсы промежуточной сложности, при описании поведения производителя, опираются на представление его производственного множества посредством производственной функции. Уместен вопрос, при каких условиях на производственное множество такое представление возможно. Хотя можно дать более широкое определение производственной функции, однако здесь и далее мы будем говорить только об «однопродуктовых» технологиях, т. е. m = 1.

Пусть R - проекция технологического множества Y на пространство векторов затрат, т. е.

R = { r Rn | yo R: (−r, yo ) Y } .

Определение 37:

Функция f(·) : R 7→R называется производственной функцией , представляющей технологию Y , если при каждом r R величина f(r) является значением следующей задачи:

yo → max

(−r, yo ) Y.

Заметим, что любая точка эффективной границы технологического множества имеет вид (−r, f(r)). Обратное верно, если f(r) является возрастающей функцией. В этом случае yo = f(r) является уравнением эффективной границы.

Следующая теорема дает условия, при которых технологическое множество может быть представлено??? производственной функцией.

Теорема 45:

Пусть для технологического множества Y R × (−R) для любого r R множество

F (r) = { yo | (−r, yo ) Y }

замкнуто и ограничено сверху. Тогда Y может быть представлено производственной функцией.

Замечание: Выполнение условий данного утверждения можно гарантировать, например, если множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.

Теорема 46:

Пусть множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия. Тогда для любого r R множество

F (r) = { yo | (−r, yo ) Y }

замкнуто и ограничено сверху.

Доказательство: Замкнутость множеств F (r) непосредственно следует из замкнутости Y . Покажем, что F (r) ограничены сверху. Пусть это не так и при некотором r R суще-

ствует неограниченно возрастающая последовательность {yn }, такая что yn F (r). Тогда вследствие невозрастающей отдачи от масштаба (−r/yn , 1) Y . Поэтому (вследствие замкнутости), (0, 1) Y , что противоречит отсутствию рога изобилия.

Отметим также, что если технологическое множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, и существует представляющая его производственная функция f(·), то множество Y описывается следующим соотношением:

Y = { (−r, yo ) | yo 6 f(r), r R } .

Установим теперь некоторые взаимосвязи между свойствами технологического множества и представляющей его производственной функции.

Теорема 47:

Пусть технологическое множество Y таково, что для всех r R определена производственная функция f(·). Тогда верно следующее.

1) Если множество Y выпукло, то функция f(·) вогнута.

2) Если множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, то верно и обратное, т. е. если функция f(·) вогнута, то множество Y выпукло.

3) Если Y выпукло, то f(·) непрерывна на внутренности множества R.

4) Если множество Y обладает свойством свободы расходования, то функция f(·) не убывает.

5) Если Y обладает свойством отсутствия рога изобилия, то f(0) 6 0.

6) Если множество Y обладает свойством допустимости бездеятельности, то f(0) > 0.

Доказательство: (1) Пусть r0 , r00 R. Тогда (−r0 , f(r0 )) Y и (−r00 , f(r00 )) Y , и

(−αr0 − (1 − α)r00 , αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 )) Y α ,

поскольку множество Y выпукло. Тогда по определению производственной функции

αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 ) 6 f(αr0 + (1 − α)r00 ),

что означает вогнутость f(·).

(2) Поскольку множество Y обладает свойством свободного расходования, то множество Y (с точностью до знака вектора затрат) совпадает с ее подграфиком. А подграфик вогнутой функции - выпуклое множество.

(3) Доказываемый факт следует из того, что вогнутая функция непрерывна во внутренно-

сти ее области определения.

(4) Пусть r 00 > r0 (r0 , r00 R). Поскольку (−r0 , f(r0 )) Y , то по свойству свободы расходования (−r00 , f(r0 )) Y . Отсюда, по определению производственной функции, f(r00 ) > f(r0 ), то есть f(·) не убывает.

(5) Неравенство f(0) > 0 противоречит предположению об отсутствии рога изобилия. Значит, f(0) 6 0.

(6) По предположению о допустимости бездеятельности (0, 0) Y . Значит, по определению

В предположении о существовании производственной функции свойства технологии можно описывать непосредственно в терминах этой функции. Покажем это на примере так называемой эластичности масштаба.

Пусть производственная функция дифференцируема. В точке r, где f(r) > 0, определим

локальную эластичность масштаба e(r) как:

Если в некоторой точке e(r) равна 1, то считают, что в этой точке постоянная отдача от масштаба , если больше 1 - то возрастающая отдача , меньше - убывающая отдача от масштаба . Вышеприведенное определение можно переписать в следующем виде:

P ∂f(r) e(r) = i ∂r i r i .

Теорема 48:

Пусть технологическое множество Y описывается производственной функцией f(·) и

в точке r выполнено e(r) > 0. Тогда верно следующее:

1) Если технологическое множество Y обладает свойством убывающей отдачи от масштаба, то e(r) 6 1.

2) Если технологическое множество Y обладает свойством возрастающей отдачи от масштаба, то e(r) > 1.

3) Если Y обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то e(r) = 1.

Доказательство: (1) Рассмотрим последовательность {λn } (0 < λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) > λn f(r). Перепишем это неравенство в виде:

	f(λn r) − f(r)
Переходя к пределу, имеем		λn − 1
Переходя к пределу, имеем
			∂ri	ri 6 f(r).



Таким образом, e(r) 6 1.
Свойства (2) и (3) доказываются аналогично.

Технологические множества Y можно задавать в виде неявных производственных функций g(·). По определению, функция g(·) называется неявной производственной функцией, если технология y принадлежит технологическому множеству Y тогда и только тогда, когда g(y) >

Заметим, что такую функцию можно найти всегда. Например, подходит функция такая, что g(y) = 1 при y Y и g(y) = −1 при y / Y . Заметим, однако, что данная функция не является дифференцируемой. Вообще говоря, не каждое технологическое множество можно описать одной дифференцируемой неявной производственной функцией, причем такие технологические множества не являются чем-то исключительным. В частности, технологические множества, рассматриваемые в начальных курсах микроэкономики, часто бывают такими, что для их описания нужно два (или больше) неравенства с дифференцируемыми функциями, поскольку требуется учитывать дополнительные ограничения неотрицательности факторов производства. Чтобы учитывать такие ограничения, можно использовать векторные неявные

С помощью технологических множеств моделируются производственные процессы, которые осуществляются производственной системой. У каждой системы есть входы и выходы:

Производственный процесс представляется как процесс однозначного преобразования факторов производства в продукты производства в течение заданного интервала времени. За этот интервал времени происходит полное исчезновение факторов и появление продуктов.

При таком моделировании – преобразование факторов в продукты – полностью скрыта роль внутренней структуры производственной системы, ее организации и методов управления производства.

Наблюдателям доступна информация о состоянии входов и выходов системы. Эти состояния определяются, с одной стороны, точкой в пространстве товаров и факторов, а с другой, состояние выходов определяется точкой в пространстве выходов.

Модели пространства включают в себя множество факторов пространства, множество параметров пространства и множество доступных технологий.

Технология – это технический способ преобразования факторов производства в продукты.

Технологическим процессом называют упорядоченный набор двух векторов , где – вектор факторов производства, – вектор продуктов. Технологический процесс является простейшей моделью пространства, которая задается от ряда элементов:

Таким образом, технологический процесс описывается набором из (n+ m) чисел: .

Например, возьмем компьютер типа А и , т.е выпускается один компьютер, тогда этот технологический процесс описывается 7+1=8 числами.

В практике моделирования реальных производственных систем в качестве первого приближения используется гипотеза линейных технологий.

Линейность технологий предполагает увеличение продуктов V при возрастании наборов факторов U .

Рассмотрим основные свойства технологических процессов:

1. Подобие.

Технологический процесс подобен , т.е. ~ , если выполняется условие: , которое означает, что - это тот же технологический процесс, но протекающий с интенсивностью :

Для подобных процессов выполняется система равенств:

Подобные процессы лежат на одном луче технологии производства.

2. Различие.

Различные технологические процессы лежат на различных лучах и не могут быть преобразованы друг в друга с помощью умножения на положительное число.

3. Составные технологические процессы.

Процесс называется составным, если существуют и , что .

Процесс, который не является составным, называют базовым.

Луч, проходящий через начало координат в направлении базового процесса, называют базовым лучом. Каждому базовому лучу соответствует базовая технология, а все точки базового луча отражают подобные технологические процессы.

По определению базовый технологический процесс не может быть выражен через линейную комбинацию других технологических процессов.

В положительном октанте можно разместить гиперплоскость, отсекающую единичные отрезки от каждой координаты.

Это позволяет наглядно представить технологии производства.

Покажем возможные пересечения гиперплоскости технологическими лучами.

1) Единственная доступная технология – базовая.

2) Появление новой дополнительной базовой технологии.

3) Линейная комбинация двух базовых технологий.

4) Третья дополнительная базовая технология.

5) Возможность формирования технологий, лежащих внутри треугольной области.

6) Две треугольные области с шестью базовыми технологиями.

7) Объединение технологий – выпуклый шестиугольник.

8) Возможен случай с бесконечным числом базовых технологий.

В этих графических образах все внутренние и граничные точки, за исключением вершин, отражают составные технологические процессы, а множество всех технологических процессов называется технологическим множеством Z .

Технологические множества обладают следующими свойствами:

1. Не осуществление рога изобилия.

(Ø, V) Z , следовательно, V= Ø .

(Ø, Ø) Z означает бездействие.

2. Технологическое множество выпукло, а процессы, лучи которых лежат на границе этого множества, могут смешиваться друг с другом.

3. Технологическое множество ограничено сверху в силу ограниченности экономических ресурсов.

4. Технологическое множество замкнуто, и эффективные технологии лежат на границе этого множества.

Специфическим свойством технологических множеств является существование неэффективных процессов.

Если существует , то возможны любые технологические процессы, удовлетворяющие условию (для факторов), (для продуктов).

Существует ( ,Ø) Z , что означает полное уничтожение факторов производства. В нем вообще не возникают продукты.

Технологический процесс более эффективен, чем , если и/или .

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ.

Математическое описание эффективного процесса может быть преобразовано в производственную функцию путем агрегирования факторов производства, а также агрегирования продуктов производства в единственный продукт.

Описание технологии: производственная функция, множество используемых факторов производства , карта изоквант.

Производственная функция – технологическая зависимость между затратами ресурсов и выпуском продукции.

Если выражать формально, то производственная функция выглядит следующим образом:

Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала, то есть рассмотрим двухфакторную модель. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов. Можно использовать небольшое количество машин (т. е. обойтись небольшими затратами капитала), но при этом придется затратить большое количество труда; можно, напротив, механизировать те или иные операции, увеличить количество машин и за счет этого снизить затраты труда. Если при всех таких сочетаниях наибольший возможный объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же изокванте . То есть изокванта – это линия равного выпуска или количества. На графике x1 и x2 – это используемые ресурсы.

Зафиксировав другое количество произведенной продукции, получим другую извокванту, то есть у одной и той же производственной функции имеется карта изоквант .

Свойства изоквант:

изокванты имеют отрицательный наклон . Между ресурсами существует обратная связь , то есть, уменьшая количество труда, необходимо увеличивать количество капитала, для того, чтобы остаться на том же уровне производства
изокванты выпуклы по отношению к началу координат . Как уже было сказано, при уменьшении использования одного ресурса, необходимо увеличивать использование другого ресурса. Выпуклость кривой безразличия по отношению к началу координат является следствием падения предельной нормы технологического замещения (MRTS). Про МРТС в третьем билете подробно рассказано. Пологий спуск изокванты вниз свидетельствует об убывании темпов замещения одного ресурса другим по мере уменьшения доли данного блага в производстве.
абсолютная величина наклона изокванты равна предельной норме технологического замещения. Угол наклона изокванты в данной точке показывает норму, в соответствии с которой один ресурс может быть заменен другим без выигрыша или потери количества произведенного блага.
изокванты не пересекаются . Один и тот же уровень выпуска не может быть характеризован несколькими изоквантами, что противоречит их определению.

Для любого уровня выпуска возможно построить изокванту

Математическое обоснование и экономический смысл убывания предельной нормы технологического замещения.

Рассмотрим (замещение ТРУДОМ КАПИТАЛА). То есть, от какого количества капитала готов отказаться производитель, ради получения 1 единицы труда. Необходимо доказать, что данный показатель убывает.
)

Но так как Q=const, следовательно, dQ=0

Как известно, предельный продукт труда убывает (так как рациональный производитель работает во второй стадии производства), следовательно, с увеличением труда MPL будет убывать, а MPK увеличиваться, так как количество капитала уменьшается, следовательно, будет убывать.

Экономическая причина уменьшения MRTS состоит в том, что в большинстве отраслей факторы производства не являются полностью взаимозаменяемыми: они и дополняют друг друга в производственном процессе. Каждый фактор может делать то, что не может сделать или может сделать хуже другой фактор производства.

Эластичность замещения факторов производства (обычное и логарифмическое представление). Кривизна изоквант и гибкость технологий

Эластичность замещения факторов производства - применяемый в экономической теории показатель, показывающий на сколько процентов необходимо изменить отношение факторов производства при изменении их предельной нормы замещения на 1 %, чтобы объём выпуска оставался неизменным.

Определим предельную норму замещения капитала трудом при технологии

Тогда из предыдущего билета следует:

При графическом построении MRTS соответствует тангенсу угла наклона касательной к изокванте в точке, указывающей необходимые объемы труда и капитала для производства заданного объема продукции.

При заданной технологии каждой величине капиталовооруженности труда (точке на изокванте) соответствует свое соотношение между предельными производительностями факторов производства. Иначе говоря, одной из специфических характеристик технологии является то, как сильно меняется соотношение предельных производительностей капитала и труда при небольшом изменении капиталовооруженности, то есть количества используемого капитала. Графически это отображается степенью кривизны изокванты. Количественной мерой этого свойства технологии является эластичностьзамещенияфакторовпроизводства, которая показывает, на сколько процентов должна измениться капиталовооруженность труда, чтобы при изменении соотношения производительностей факторов на 1% выпуск остался неизменным. Обозначим ; тогда эластичность замещения факторов производства

при Q = const

Вот это логарифмическое представление. Пздц)

Обозначим - предельную норму замещения -го фактора -ым фактором, а - отношение количества этих факторов, используемых в производстве. Тогда эластичность замещения будет равна:

При этом можно показать, что

Единственное, чего не смог найти – это вывод вот этой «…».

Кривизна изокванты иллюстрирует эластичность замещения факторов при выпуске заданного объема продукта и отражает то, насколько легко один фактор может быть заменен другим. В том случае, когда изокванта похожа на прямой угол, вероятность замещения одного фактора другим крайне невелика. Если же изокванта имеет вид прямой линии с наклоном вниз , то вероятность замены одного фактора другим значительна. (подробнее смотри про разные виду функций в пятом билете)

Более того, когда изокванта непрерывна, то она характеризует гибкость технологии. То есть у фирмы есть огромное количество вариантов производства.

Для отменного понимания вот этого дерьма, ознакомься с 5ым, там все збс прописано.

Особые виды производственных функций (линейная, Леонтьева, Кобба-Дугласа, CES): аналитическое, графическое и экономическое представление; экономический смысл коэффициентов; отдача от масштаба; эластичность выпуска по факторам производства; эластичность замещения факторов производства.

Совершенная взаимозаменяемость ресурсов или линейная производственная функция

Если ресурсы, используемые в процессе производства, являются абсолютно заменяемыми, то постоянна во всех точках изокванты, а карта изоквант имеет вид как на рисунке 14.2. (Примером такого производства может служить производство , допускающее как полную автоматизацию, так и ручное изготовление какого-либо продукта).

Q=a*K+b*L, где K:L=b/a –пропорция замещения одного ресурса другим(b-точка пересецния Q1 оси ОК, a- оси OL)

Постоянная отдача от масштаба, эластичность замещения ресурсов бесконечна, MRTSlk=-b/a, эластичность выпуска по труду – в, по капиталу – а.

Фиксированная структура использования ресурсов, она же функция Леонова

Если технологический процесс исключает замещение одного фактора на другой и требует использование обоих ресурсов в строго фиксированных пропорциях, производственная функция имеет вид латинской буквы, как на рисунке 14.3.

Примером подобного рода может служить работа землекопа (одна лопата и один человек). Увеличение одного из факторов без соответствующего изменения количества другого фактора нерационально, поэтому технически эффективными будут лишь угловые комбинации ресурсов (угловая точка - точка, где пересекаются соответствующие горизонтальная и вертикальная линии).

Q=min(aK;bL);Постоянная отдача от масштаба, K:L=b:a пропорция дополнения, MRTSlk=0, эластичность замещения 0, эластичность выпуска 0.

Функция Кобба-Дугласа

A-характеризует технологию.

Эластичность замещения факторов может быть любой, отдача от масштаба (1-постоянная, меньше единицы – убывающая, больше единицы возрастающая), эластичность выпуска по факторам производсвта для капитала – альфа, для труда –бета, эластичность замещения факторов

Функция CES

Функция CES (CES - англ. Constant Elastisity of Substitution) - применяемая в экономической теории функция, обладающая свойством постоянной эластичности замещения. Иногда она используется также и для моделирования функции полезности. Данная функция применяется в первую очередь для моделирования производственной функции. Некоторые другие популярные производственные функции представляют собой частные или предельные случаи данной функции.

Отдача от масштаба зависит от : больше 1, возрастающая отдача от масштаба, меньше 1 – убывающая отдача от масштаба, равно 1 – постоянная отдача от масштаба.

ДЛЯ ДАННЕОГО БИЛЕТА Я НЕ СМОГ НАЙТИ ЭЛАСТИЧНОСТЬ ВЫПУСКА ВООБЩЕ НИГДЕ НОРМАЛЬНУЮ

Понятие экономических издержек. Изокосты, их экономический смысл.

Экономические издержки - ценность других благ, которые можно было бы получить при наиболее выгодном использовании тех же ресурсов. В этом случае говорят об «альтернативных издержках».

Альтернативные издержки возникают в мире ограниченных ресурсов, и поэтому все желания людей не могут быть удовлетворены. Если бы ресурсы были безграничны, то ни одно действие не осуществлялось бы за счет другого, т. е. альтернативные издержки любого действия были бы равны нулю. Очевидно, что в реальном мире ограниченных ресурсов альтернативные издержки положительны.

Опираясь на понятие альтернативных издержек, можно сказать, что экономические издержки - это те выплаты, которые фирма обязана сделать, или те доходы, которые фирма обязана обеспечить поставщику ресурсов для того , чтобы отвлечь эти ресурсы от использования в альтернативных производствах.

Эти выплаты могут быть либо внешними, либо внутренними.
Внешние издержки представляют собой плату за ресурсы (сырье, топливо, транспортные услуги – все то, что фирма не производит сама для создания какого-либо товара) поставщикам, не принадлежащим к числу владельцев данной фирмы.

Кроме того, фирма может использовать определенные ресурсы, принадлежащие ей самой. Издержки на собственный и самостоятельно используемый ресурс представляют собой неоплачиваемые, или внутренние, издержки. С точки зрения фирмы эти внутренние издержки равны денежным платежам, которые могли бы быть получены за самостоятельно используемый ресурс при наилучшем - из возможных способов - его применении.Внутренние издержки включают также нормальнуюприбыль как минимальное вознаграждение предпринимателя, необходимое для того, чтобы он продолжал свое дело и не переключился на другое. Таким образом, экономические издержки выглядят так:

Экономические издержки = Внешние издержки + Внутренние издержки (включая нормальную прибыль)

Изокоста – прямая, показывающая все комбинации факторов производства при фиксированном объеме общих затрат.

Набор изоквант отдельной фирмы (карта изоквант) показывают технически возможные комбинации ресурсов, обеспечивающие фирме соответствующие объемы выпуска.

При выборе оптимальной комбинации ресурсов производитель должен учитывать не только доступную ему технологию, но и свои финансовые ресурсы , а также цены на соответствующие факторы производства .

Совокупность этих двух факторов определяет область доступных производителю экономических ресурсов (его бюджетное ограничение).

Бюджетное ограничение производителя может быть записано в виде неравенства:

P K *K+P L *L TC, где

P K , P L -цена капитала, цена труда;

TC – совокупные издержки фирмы на приобретение ресурсов.

Если производитель (фирма) полностью расходует свои средства на приобретение данных ресурсов , получаем следующее равенство:

P K *K+P L *L=TC

На графике изокоста определяется в осях L,K, поэтому для построения, удобно привести равенство в следующий вид:

–уравнение изокосты.

Наклон линии изокосты определяется отношением рыночных цен на труд и на капитал: (- P L /P K)

K

L