Урок по теме:

Комбинаторика.

Комбинаторные задачи.

Учитель математики

Минасян Людмила Григорьевна

МБОУ СОШ №2 г.Горячий Ключ

Цель урока

Ход урока:

Рассмотрим такой

пример1.

Решение.

Правило умножения.

Пример 2.

цветов полос

Получается еще дваварианта:

Всего 6 комбинаций.

А вот так выглядит «дерево возможных вариантов» для такого примера 3 :

Пример 3.

Ответ: 24.

перестановки.

Рассмотрим пример.

Обозначают: Рn = n! (n факториал).

n! =

Например: 3! =

Задача №1.

Задача №2.

Решение:

Р4 – Р3= 4!-3!=

Ответ: 18.

Задача №3.

Решение:

Задача № 4.

Решение: Р6

Ответ: 1440.

размещения.

.

Задача 5.

Решение: А

(способов).

Задача 6.

а) 4 фотографии;

б) 6 фотографий.

Решение: а) А

Задача 7.

Решение: А

Задача 8.

Решение: а) А

Задача 9.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от 0?

Решение: А

А теперь рассмотрим такой сюжет:

Имеется 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, e. Требуется составить букет из трех гвоздик.

Выясним, какие букеты можно составить.

Если в букет входит гвоздика a , то можно составить такие букеты:

abc, abd, abc, acd, ace, adc.

Если в букет не входит гвоздика a , а входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:

bcd, bce, bdc.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика a ,гвоздика b , то можно составить букет

Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти.

Говорят, что составлены всевозможные сочетания из 5-ти элементов по 3.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов и обозначается С

в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.

Поэтому пример про гвоздики можно быстро решить так:

Решение: С

Задача 10.

Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: С

Задача 11.

Из вазы с фруктами, где лежат 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: 3 яблока из 9-ти можно выбрать С

способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать С

Способами. Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать С

способами.

Решение: С

Задачи для закрепления.

Задача I.

В классе 7 человек успешно занимаются математикой.

Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: С

Задача II.

В лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек.

Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий должен остаться.

Решение: а) С

Задача III.

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и три девочки.

Сколькими способами это можно сделать?

Решение: С

Задача IV.

В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение: С

_1331577493.unknown

_1331659018.unknown

_1331659944.unknown

_1331660329.unknown

_1331660671.unknown

_1331661445.unknown

_1331661702.unknown

_1331662086.unknown

_1331661345.unknown

_1331660440.unknown

_1331660208.unknown

_1331660239.unknown

_1331660050.unknown

_1331659369.unknown

_1331659696.unknown

_1331659170.unknown

_1331578520.unknown

_1331579064.unknown

_1331657807.unknown

_1331578924.unknown

_1331578062.unknown

_1331578423.unknown

_1331577590.unknown

_1331574043.unknown

_1331575879.unknown

_1331576626.unknown

_1331577036.unknown

_1331576092.unknown

_1331575082.unknown

_1331575717.unknown

_1331575046.unknown

_1331486535.unknown

_1331489116.unknown

_1331573995.unknown

_1331487038.unknown

_1331486219.unknown

_1331486355.unknown

_1331486067.unknown

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 муниципального образования город Горячий Ключ

Урок по теме:

Комбинаторика.

Комбинаторные задачи.

Учитель математики

Минасян Людмила Григорьевна

МБОУ СОШ №2 г.Горячий Ключ

Цель урока : познакомить учащихся с разделом математики – комбинаторикой. Показать решение некоторых комбинаторных задач.

Ход урока: а) объяснение материала; б) закрепление материала, решение задач.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитать число комбинаций.

Такие задачи называются комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называется комбинаторикой.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinate, которое означает «соединять», «сочетать».

Рассмотрим такой

пример1.

На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром.

Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение.

Всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Однако составлять такие таблицы для каждой задачи, занимает время.

А чтобы решить такую задачу быстрее, можно воспользоваться правилом умножения.

Правило умножения.

Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Пример 2.

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный.

Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Решение будем искать с помощью «дерева возможных вариантов».

Посмотрим на левую «веточку», идущую от «флага», пусть верхняя полоса – белого цвета, тогда средняя полоса может быть синей или красной, а нижняя – соответственно, красной или синей. Получилось два варианта цветов полос флага: белая, синяя, красная и белая, красная, синяя.

Пусть теперь верхняя полоса – синего цвета, это вторая «веточка».

Тогда средняя полоса может быть белой или красной, а нижняя - соответственно, красной или белой. Получилось еще два вариантацветов полос: синяя, белая, красная и синяя, красная, белая.

Аналогично рассматривается случай для верхней полосы красного цвета.

Получается еще дваварианта: красная, белая, синяя и красная, синяя, белая.

Всего 6 комбинаций.

Построенная схема действительно напоминает дерево, только перевернутое. Поэтому ее называют «деревом возможных вариантов» .

А вот так выглядит «дерево возможных вариантов» для такого примера 3 :

Пример 3.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 и 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Ответ: 24.

Однако многие задачи можно решить быстрее и легче. Для этого надо знать простейшие комбинации, которые можно составлять из элементов конечного множества.

И одна из первых таких комбинаций - перестановки.

Рассмотрим пример.

Имеются три книги. Обозначим их буквами a ,b и c.Эти книги нужно расставить на полке по-разному:

а b с, а с b, b а с, b с а, с а b, с b а .

Каждое из этих расположений и называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называют каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Обозначают: Рn = n! (n факториал).

n! =

Например: 3! =

Поэтому задачу с книгами можно решить так:

Задача №1.

Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

Задача №2.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из чисел 0,2, 4.6?

Решение: из цифр 0,2.4.6 можно составить Р4 перестановок. Из этого числа нужно исключить те перестановки, которые начинаются с 0.

Число таких перестановок Р3. Значит искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0,2,4,6 равно:

Р4 – Р3= 4!-3!=

Ответ: 18.

Задача №3.

Имеются 9 различных книг, четыре из которых учебники.

Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р6 способами.

И в каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг равно произведению: Р6*Р4=

Задача № 4.

В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия.

Сколькими способами можно расставить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Решение: Р6

Ответ: 1440.

Вторым видом комбинаций являются размещения.

Пусть имеются 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d.

В пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора .

Из составленной таблицы видно, что таких комбинаций 24.

Размещением из n элементов по k (n

k) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов и обозначается А

И необязательно каждый раз составлять схемы или таблицы. Достаточно знать формулу:

Если размещения составляются из n элементов по n, то А

Задача 5.

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета.

Решение: А

(способов).

Задача 6.

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий.

Сколькими способами можно вложить в свободные места

а) 4 фотографии;

б) 6 фотографий.

Решение: а) А

Задача 7.

Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 и 6?

Объяснение: если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел которые можно составить из этих цифр равно числу размещений из 7 элементов по 3 А

Однако, среди данных семи чисел есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 нужно исключить те, у которых первым элементом является цифра 0.Их число равно числу размещений из 6 элементов по 2.

Значит, искомое число равно: А

Решение: А

Задача 8.

Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых: а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

Научный проект на тему:

Научный руководитель: учитель математики Малкандуева Л.М

учени ца 5 «В» класса

МОУ «Гимназия №14»

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь

с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться

Актуальность моего исследования состоит в том,

что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно.

А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека

к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека.

Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.

45∙11=495

87∙11=957

Умножение на пальцах

1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101∙50=5050

Цель: изучить приемы быстрого счета, показать необходимость их применения для упрощения вычислений.

В соответствии с поставленной целью были определены задачи :

• Исследовать, применяют ли школьники приемы быстрого счета.
• Изучить приемы быстрого счета, которые можно

использовать, упрощая вычисления.

• Составить памятку для учащихся 5-6 классов для

применения приемов быстрого счета.

Объект исследования : приемы быстрого счета.

Предмет исследования : процесс вычислений.

Гипотеза исследования : если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи.

При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы : опрос (анкетирование), анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, практическая работа, наблюдения.

Анкета

б) чтобы хорошо учиться в школе; в) чтобы быстро решать;

г) чтобы быть грамотным; д) не обязательно уметь считать.

2. Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

а) математика; б) физика; в) химия; г) технология; д) музыка; е) физическая культура;

ж) ОБЖ; з) информатика; и) география; к) русский язык; л) литература.

3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?

а) да, много; б) да, несколько; в) нет, не знаю.

4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?

а) да; б) нет.

5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?

а) да; б) нет.

Сбор и статистическая обработка данных

1) Зачем нужно уметь считать ?

2) При изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

3) Знаешь ли ты приёмы быстрого счёта?

4) Применяешь ли ты приёмы быстрого счёта?

5) Хотели бы вы узнать приёмы быстрого счёта, чтобы быстро решать?

Движение пальца

С помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9 .

Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы

обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1,

второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца,

который означает 10.

Если надо умножить на 9 любое

из первых девяти чисел, то для этого,

не двигая рук со стола, надо приподнять в

верх тот палец, номер которого означает

число, на которое умножается девять;

тогда число пальцев, лежащих налево

от поднятого пальца, определяет число

десятков, а число пальцев, лежащих справа

от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного

произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9.

Для этого на одной руке вытягивали столько

пальцев, насколько первый множитель превосходил

число 5,а на второй делали то же самое для второго

множителя. Остальные пальцы

загибали. После этого брали

столько десятков, сколько вытянуто

пальцев на обеих руках, и прибавляли

к этому числу произведение загнутых

пальцев на первой и второй руке.

• Пример: 8 ∙ 9 = 72

• 1. 48 *5=48*10/2= 240
• 2. 48*25=48*100/4= 1200
• 3. 48*50=48*100/2= 2400
• 4. 725/5=725*2/10= 145
• 5. 725/25=725*4/100= 29
• 6. 1250/50=1250*2/100= 25

244-14= 230

160-4= 156

200+50= 250

• 230 2. 98+58 100-2+60-2 160-4= 156 250
• 1. 97+44+89 100+44+100-3-11 244-14= 230 2. 98+58 100-2+60-2 160-4= 156 3. 198+52 200-2+50+2 200+50= 250
• 1. 97+44+89 100+44+100-3-11 244-14= 230 2. 98+58 100-2+60-2 160-4= 156 3. 198+52 200-2+50+2 200+50= 250
• 1. 97+44+89 100+44+100-3-11 244-14= 230 2. 98+58 100-2+60-2 160-4= 156 3. 198+52 200-2+50+2 200+50= 250

18+52+65+35+37=(18+52)+(65+35)+37=

70+100+37=(70+37)+100=107+100= 207

• Например: 14*11= 1 5 4

• Чтобы умножить любое число на 11, к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число.
• Например: 241*11= 241 0 + 241 =2651

Под соседом подразумевается цифра справа.

Пример: 0,3425* 11=3 ,7675

0,3425 * 11=(0+3),(3+4)(4+2)(2+5)(5+0)=3,7675

Доказательство:

Таким образом:

3425 * 11=3425 * (10+1)=34250+3425=37675.

Умножение на 1,5

• Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить

его половину.

• Например: 34 *1,5= 34 + 17 =51

129 *1,5= 129 + 64,5 =193,5

Возведение в квадрат

• Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, умножают число его десятков на число десятков, увеличенное на 1, и к полученному числу приписывают 25.
• Например: 9 5 2 = 90 25

• Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.
• Вот пример:
• 32 Х 13
• 16 X 26
• 8 Х 52
• 4 Х 104
• 2 X 208
• 1 X 416

• Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:
• 32 X 13 = 1 X 416.

• Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?
• Народный способ легко выводит из этого затруднения. Надо - гласит правило - в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца; сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):
• 19 X 17
• 9 X 34
• 4 X 68*
• 2 X 136*
• 1 X 272

• Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:
• 17 + 34 + 272 = 323.
• На чем основан этот прием?
• Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что
• 19 Х 17 = (18 + 1)17 = 18 X 17 + 17,
• 9 X 34 = (8 + 1)34 = 8 X 34 + 34 и т. д.
• Ясно, что числа 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение

Выводы:

• Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.
• В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся

Сообщение:

«Устная работа на уроках математики как средство формирования вычислительных навыков учащихся»

Введение

Я хочу представить свой личный педагогический опыт в работе «Устная работа на уроках математики как средство формирования вычислительных навыков учащихся». Работая в школе учителем математики 17 лет, и исходя из личного опыта, выбор темы не случаен. Если раньше я немного уделяла вниманию устной работе, то в настоящее время поняла, какую роль играют устные вычисления в формировании вычислительных навыков. Важнейшей задачей обучения математике, как отмечается в программе, является обеспечение учащихся прочными знаниями и умениями, нужными в повседневной жизни. В связи с этим необходимо подчеркнуть роль вычислительной подготовки учащихся в системе общего образования. Выбор темы обусловлен тем, что в настоящее время общеобразовательная школа ощущает быстрый рост количества научной информации, и это ставит перед ней большие задачи, отраженные в действующих программах. Они связаны с формированием прочных знаний основ наук, в том числе и математики, на уроках которой просто невозможно обойтись без устных вычислений.

Проблема

Устный счет это не случайный этап урока, он находится в методической связи с основной темой и носит проблемный характер.

Для достижения правильности и беглости устных вычислений на каждом уроке математики, я отвожу 5-10 минут для проведения упражнений в устных вычислениях.

Устный счет активизирует мыслительную деятельность учащихся. При их выполнении, развиваются память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.

Данный этап является неотъемлемой частью в структуре урока математики. Он помогает учителю, во-первых, переключить ученика с одной деятельности на другую, во-вторых, подготовить учащихся к изучению новой темы, в-третьих, в устный счет можно включить задания на повторение и обобщение пройденного материала, в-четвертых, он повышает интеллект учеников.

Устный счет на уроках математики является способом направленного и всестороннего развития способностей детей. Систематическое выполнение устных упражнений позволяет восстанавливать, поддерживать способности к восприятию, запоминанию и обработке информации, способствует поддержанию и укреплению всей умственной работоспособности, организованности, целеустремленности.

В моих классах есть учащиеся, для которых достижение уровня обязательной подготовки определенною стандартом математического образования – непростая задача, во многом из-за низкого уровня вычислительной культуры школьников. Такие школьники, при отсутствии своевременной помощи учителя, обречены на неуспеваемость в обучении. Даже если они хорошо разберутся в новой теме, то все равно при выполнении заданий будут допускать ошибки при вычислениях и в лучшем случаи за свой ответ получат отметку «удовлетворительно».

В последнее время я все чаще стала замечать, что уровень навыков вычислений и тождественных преобразований у учащихся резко снизился: они плохо и нерационально считают, кроме того, при вычислениях все чаще прибегают к помощи технических средств – калькуляторов.

В этом учебном году я решила вплотную заняться этой темой и усилить работу по формированию вычислительных навыков через устный счет. Я работаю в 4 классах: 5, 7, 8, 9. В каждом классе есть сильные и слабые учащиеся. Именно в 5-6 классах мы закладываем основы обучения математике наших воспитанников. Не научим считать в этот период – будем и сами в дальнейшем испытывать трудности, и своих учеников обречем на постоянные обидные промахи. Особенно много трудностей возникает у учащихся, не владеющих навыками устного счета. Бывает так, что часть учеников в начале 5 - го класса не знают таблицу умножения, не могут выполнить простые вычисления, имеют смутное представление о порядке выполнения действий. Успех в вычислениях во многом определяется степенью отработки навыков устного счета.

Большое количество учащихся не владеют данными вычислительными навыками, допускают различные ошибки в вычислениях.

Среди причин невысокой вычислительной культуры учащихся можно назвать:

Низкий уровень мыслительной деятельности;

Отсутствие соответствующей подготовки и воспитания со стороны семьи и детских дошкольных учреждений;

Отсутствие надлежащего контроля над детьми при подготовке домашних заданий со стороны родителей;

Неразвитое внимание и память учащихся;

Недостаточная подготовка учащихся по математике за курс начальной школы;

Отсутствие системы в работе над вычислительными навыками и в контроле над овладением данными навыками в период обучения

Цели и задачи

Поэтому я ставлю перед собой следующую цель: ознакомить учащихся с дополнительными приемами устных и письменных вычислений, которые позволили бы значительно сократить время, потраченное на вычисления и запись решения, и избежать использования различных вычислительных средств, что в свою очередь позволит сэкономить время на решение заданий ГИА.

Задачи:

Изучить психолого-педагогические, теоретические и методические источники по данному вопросу;

Разработать систему устных упражнений, способствующих формированию вычислительных навыков.

Провести и проанализировать результаты диагностики.

Актуальность темы

Устный счет способствует формированию основных математических понятий, более глубокому ознакомлению с составом чисел из слагаемых и сомножителей, лучшему усвоению законов арифметических действий и др.

Упражнениям в устном счете всегда придавалось также воспитательное значение: считалось, что они способствуют развитию у детей находчивости, сообразительности, внимания, развитию памяти детей, активности, быстроты, гибкости и самостоятельности мышления.

Устные вычисления развивают логическое мышление учащихся, творческие начала и волевые качества, наблюдательность и математическую зоркость, способствуют развитию речи учащихся, если с самого начала обучения вводить в тексты заданий и использовать при обсуждении упражнений математические термины.

Всем известно, что хорошо развитые у учащихся навыки устного счета – одно из условий их успешного обучения в старших классах.

Проводимые в начале урока устные упражнения помогают учащимся быстро включиться в работу, в середине или конце урока служат своеобразной разрядкой после напряжения и усталости, вызванной письменной или практической работой. В ходе выполнения таких упражнений учащиеся чаще, чем на других этапах урока, получают возможность отвечать устно, причем они сразу проверяют правильность своего ответа. В отличие от письменных упражнений содержание устных таково, что решение их не требует большого числа рассуждений, преобразований, громоздких вычислений. Они составлены с таким расчетом, что отражают важные элементы курса.

Устный счет я всегда провожу так, чтобы ребята начинали работу с легкого, а затем постепенно брались за вычисление все более и более трудных примеров. Если сразу обрушить на учащихся сложные устные задания, то ребята, обнаружив своё собственное бессилие, растеряются, и их инициатива будет подавлена.

Я стараюсь сделать так, чтобы устный счет воспринимался учащимися как интересная игра. Тогда они сами внимательно следят за ответами друг друга, а учитель становится не столько контролером, сколько лидером, придумывающим все новые и новые интересные задания. А ведь всем известно, чем больше учащиеся решают задачи и упражнения, тем лучше и глубже усваивается программа по математике.

Формы устной работы

Устные упражнения могут быть разнообразны по форме, содержанию и степени сложности, могут носить тренировочный, контролирующий или обобщающий характер.

Приемов устного счета много, но как ни велика их педагогическая и практическая ценность, учитель должен стоять на позиции сознательного их выбора, а не механического применения. Кроме того, большое значение имеет выбор формы устного счета:

– беглый слуховой;

при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память.

– зрительный; (таблицы, плакаты, записи на доске, счеты, диапозитивы) – запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений.

– комбинированный.

Опишу коротко известные мне формы устной работы, которые я применяю на уроках.

Беглый счёт.

Учитель показывает карточку с заданием и тут же громко прочитывает её. Учащиеся устно выполняют действия и сообщают ответы. Карточки быстро сменяют друг друга. Последние задания предлагаются без карточек, только устно.

« Равный счет».

Учитель на доске записывает упражнение с ответом. Ученики должны придумать свои примеры с тем же ответом. Их примеры на доске не записываются. Ребята должны на слух воспринимать названные числа и определять верно ли составлен пример.

«Графический диктант»

Слуховой

Учитель читает высказывания. Учащиеся отвечают, рисуя отрезок или уголок. Ответ «да», то отрезок, если «нет», то уголок.

Зрительный

Учащиеся устно выполняют действия, либо устно сравнивают. Ответ «да» соответствует отрезку, ответ «нет» - уголку.

«Математическое лото»

Каждому ученику выдается карточка лото и полоски бумаги размером в одну ячейку лото. Учитель читает примеры, а учащиеся закрывают в карточке соответствующие ответы. Из оставшихся незакрытых букв можно складывать слова, которые подскажут тему урока.

Кроссворды.

Учащиеся разгадывают кроссворд и отгадывают тему урока.

«Круговые примеры»

Примеры записаны на карточках, карточки прикреплены к доске. Суть этого устного счета заключается в том, что результат одного примера является началом следующего.Учащимся дается первый пример, далее, вычисляя, они показывают стрелками следующие примеры.

«Геометрия на готовых чертежах»

На уроках геометрии применяю таблицы с готовыми чертежами по отдельным темам. Учащиеся с помощью этих таблиц решают устно задачи.

Устный счет можно превратить в увлекательную игру.

«Лесенка». На каждой ступеньке записано задание в одно действие. Команда учащихся из двух человек (столько ступенек у лесенки) поднимается по ней. Каждый член команды выполняет действие на своей ступеньке. Если ошибся – упал с лесенки. Вместе с неудачником может выбыть из игры и вся команда. Или команда заменяет своего выбывшего товарища другим игроком. В это время вторая команда продолжает подъём. Выигрывают те ребята, которые быстрее добрались до верхней ступеньки. По лесенке можно подниматься и с разных сторон, играя вдвоём. Побеждает тот, кто быстрее даст правильные ответы на всех ступеньках.

2×1/3

1/6×2 1/5×5

0,4:2 2:1/4

0,2×2 0,8×2

Рис. к «Лесенке»

«Торопись, да не ошибись». Эта игра – фактически математический диктант. Учитель медленно прочитывает задание за заданием, а учащиеся на листочках пишут свои ответы.

С активным внедрением ИКТ в учебный процесс появилась замечательная возможность разнообразить свои уроки, сделать их ярче и интереснее.

Организация устных упражнений всегда была и остается «узким местом» в работе на уроке: суметь за небольшое время дать каждому ученику достаточную «вычислительную нагрузку», предложить разнообразные задания, стимулирующие развитие внимания, памяти, эмоционально- волевой сферы, оперативно проверить правильность решений, обеспечить необходимый уровень самостоятельности в работе детей – весьма трудная задача. Помочь в разрешении этой проблемы помогают, как показывает опыт обучения школьников в средних классах, наборы упражнений - таблицы. Они предназначены как для работы на уроке, так и для самостоятельной работы ученика дома.

Основное их назначение - формирование у обучающихся прочных навыков вычислений, эффективно развивая при этом внимание и память - необходимые компоненты успешного овладения школьным курсом математики. Учителю на уроке они помогают организовать, сделать более продуктивной и насыщенной устную работу, каждодневную тренировку детей в устных и письменных вычислениях. Обратим особое внимание на то, что все таблицы в течение учебного года можно использовать многократно.(Приложения 1 и2)

Тематика таблиц (тренировочных заданий) для устных вычислений .

1. Сложение натуральных чисел.
2. Вычитание натуральных чисел.
3. Умножение натуральных чисел.
4. Деление натуральных чисел.
5. Действия с десятичными дробями.
6. Сократите дробь.
7. Действия с рациональными числами.
8. Выполните вычитание (100-; 200-; 300-;)
9. Выполните умножение(2,3,4,5на числа).
10. Выполните деление(100:,600:,1000:)

Данные таблицы размножаются и выдаются на руки каждому ученику. Такой же комплект имеется в каждом классе и у учителя. На этом этапе используются следующие формы работы:

1. Устный фронтальный опрос по карточкам, проводимый как учителем, так и учащимися.
2. Решение у доски во время опроса.

3.Разбор образцов решений и их оформление.

4.Отработка алгоритмов вычислений.

5.Математические эстафеты.

6.Цепочные вычисления

7. Работа в парах (по таблицам называют ответы).

8.Соревнование: «Кто быстрее?»

9.Математический диктант

Диагностическая работа

Для эффективного использования устных упражнений, нужно правильно определить их место в системе формирования понятий и навыков.

С целью изучения интереса детей к вычислительным приемам мною был проведен письменный опрос , который включал следующие вопросы:

1. Любишь ли ты выполнять вычисления?

1. С удовольствием ли ты находишь значения выражений?

1. Какие ошибки чаще всего допускаешь в вычислениях?

1. Можешь ли самостоятельно найти и исправить ошибки, допущенные в вычислениях?

1. Нравится ли тебе самостоятельно открывать новые способы вычислений?

Экспериментальные данные, позволили получить следующие результаты: 67 % детей любят выполнять вычисления, но делают это наполовину без удовольствия, ошибки в основном делают при умножении и делении- 69%.

Самостоятельно обнаружить и исправить ошибки способны 70 % учащихся. Детям нравиться открывать новые способы вычисления – 67%, но мало кто делает проверку вычислений.

Мною была проведена диагностика контрольных работ по математике в 5 классе за 1 полугодие и за 3 четверть.

Выводы: в первом полугодии оценки контрольных работ в процентном соотношении « 4»и «5» составляет 23%, а «2» и«3» – 77%

В 3 четверти: «4» и «5» - 37%, а «2» и «3» - 63%.

Диагностика контрольных работ
в 5 классе

Из результатов диагностики контрольных работ, благодаря применению
различных форм устной работы, мне удалось улучшить вычислительные умения учащихся. И если есть улучшение результатов, то есть и стимул двигаться дальше, применяя все новые разнообразные формы устной работы.

Заключение

Устные упражнения играют немаловажную роль в повышении вычислительных навыков учащихся и эффективности урока. Здесь имеет значение, какие упражнения подбираются для каждого ученика, в какой момент они предлагаются. Устная работа должна проводиться в быстром темпе, если речь идет об отработке навыков, но если она используется с целью закрепления только что изученного материала, то нецелесообразно торопить учащихся. При выполнении устных упражнений учителю не следует часто спрашивать ответ у сильных учащихся, это ослабляет инициативу и находчивость средних и слабых школьников.

Устные упражнения помогают учителю добиться оптимального решения педагогических задач на всех этапах обучения.

Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее, калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой и бывает достаточно определить лишь примерный результат.

Работая над этой темой, приходишь к выводу, что формирование устных вычислительных навыков у учащихся в процессе изучения ими математики – это длительный процесс, и является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателем математики в современной школе.

В связи с введением обязательного ГИА и ЕГЭ по математике возникает необходимость научить учащихся старших классов решать качественно задачи базового уровня. Важность формирования прочных вычислительных навыков учащихся осознают все участники процесса обучения. Отработку вычислительных навыков можно осуществлять с помощью устных упражнений. Считаю, что систематичная тренировка в устных вычислениях поможет прочным формированиям вычислительных навыков учащихся, что в свою очередь поможет сдаче ГИА и ЕГЭ.

Литература

1. Арутюнян Е.Б. “Математические диктанты”, Москва, Просвещение, 1997г.
2. Кононов А.Я. “Устные занятия по математике” “Столетие”, Москва, 1997г.
3. Рабинович Е.М. “Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах”. «АСТ-ПРЕСС», Москва, 1998г.
4. А. П. Попова. Поурочные разработки по математике 5-6 класс – М.: «ВАКО» 2008 г.
5. Интернет ресурсы.

Приложение №1

Проверка вычислительных навыков для учащихся 6 - 9 классов.

В - 1	В - 2
1) 1
2) 5 + 3	2 + 5
3) 3 + 5	7 - 1
4) 8 - 3	3 + 7
5) 3 + 4	4 + 1
6) 5 - 2	2 -
	3 - 2